AMC 8 · 2005 · #15

학년 5 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

isosceles-triangleperimetersystematic-enumerationlinear-diophantine bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: isosceles-triangleperimeter

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

세 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 23 인 이등변삼각형이 몇 개인지 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"몇 개" 를 묻고, 후보가 유한하며, 후보마다 검사는 단순합니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 딱 맞는 신호죠. 반복되는 변 a 를 기준으로 정렬하면, a 가 정해지는 순간 둘레가 나머지 변을 b = 23 - 2a 로 못 박아 줍니다. 그래서 a 하나당 후보가 최대 한 개. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 후보의 삼각형 부등식 a + a ＞ b 만 따져 보면 됩니다. 대수 없이 끝나고, 가장 큰 곱셈도 11 × 1 = 11 입니다.

1STEP 1

이등변 세 변 (a, a, b) 에서 둘레 a + a + b = 23, 즉 b = 23 - 2a 로 두고 a 를 키우며 나열합니다.

a + a + b = 23 → b = 23 - 2a

2STEP 2

b = 23 - 2a ≥ 1 이면 a ≤ 11, 그리고 a ≥ 1 이라 삼각형 검사 전 a 후보는 1 부터 11 까지.

b ≥ 1 → 23 - 2a ≥ 1 → a ≤ 11

3STEP 3

각 a (1~11) 에 삼각형 부등식 a + a ＞ b 를 검사하면 a ≤ 5 는 탈락, a ≥ 6 은 통과.

a & b = 23 - 2a & 변 & a+a ＞ b ? ; 1 & 21 & (1,1,21) & 2 ＞ 21? 아니오 ; 2 & 19 & (2,2,19) & 4 ＞ 19? 아니오 ; 3 & 17 & (3,3,17) & 6 ＞ 17? 아니오 ; 4 & 15 & (4,4,15) & 8 ＞ 15? 아니오 ; 5 & 13 & (5,5,13) & 10 ＞ 13? 아니오 ; 6 & 11 & (6,6,11) & 12 ＞ 11? 예 ; 7 & 9 & (7,7,9) & 14 ＞ 9? 예 ; 8 & 7 & (8,8,7) & 16 ＞ 7? 예 ; 9 & 5 & (9,9,5) & 18 ＞ 5? 예 ; 10 & 3 & (10,10,3) & 20 ＞ 3? 예 ; 11 & 1 & (11,11,1) & 22 ＞ 1? 예 ;

4STEP 4

통과한 줄 a = 6 부터 11 까지 세면 모두 여섯 개.

유효한 a ∈ {6, 7, 8, 9, 10, 11} → 개수 = 6 → (C)

정답

경계인 a = 6 을 확인해 봅시다. 변 (6, 6, 11) 은 6 + 6 = 12 ＞ 11 로 아슬아슬하게 삼각형이 됩니다. 한 칸만 줄여 a = 5 면 (5, 5, 13), 5 + 5 = 10 ＜ 13 으로 탈락. 따라서 a ≥ 6 이 정확한 컷오프입니다. 반대편 a = 11 은 (11, 11, 1) — 아주 가는 삼각형이지만 11 + 11 ＞ 1 이라 합법. 결과적으로 유효 삼각형은 (6,6,11), (7,7,9), (8,8,7), (9,9,5), (10,10,3), (11,11,1) 여섯 개. 모두 둘레 23 이고 2a ＞ b 를 만족하므로 답 (C) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

"몇 개?" 라는 문제는 빠짐없이 나열하기로 풀어요. 둘레가 반복되는 변에서 나머지 변을 정해 주니, 각 줄에서 따질 것은 단 하나 — 같은 두 변이 충분히 길어서 삼각형이 닫히는가입니다.

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