AMC 8 · 2003 · #18

학년 4 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

systematic-enumerationcomplementary-countingset-partitionlogical-deduction complementary-countingsystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: systematic-enumerationlogical-deduction

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

20 개의 점으로 이루어진 그래프에서, 각 점은 사라의 반 친구 한 명을 나타내고, 친구 사이는 선분으로 이어져 있습니다. 가운데 "Sarah" 라벨이 붙은 타원은 사라의 직접 친구들과 연결되어 있어요. 사라의 초대 명단은 (i) 자신과 직접 이어진 친구들과 (ii) 그 친구들과 이어진 친구들(즉, 친구의 친구)입니다. 20 명 중 초대받지 못하는 사람은 몇 명일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제 자체가 그림이라, 도구 #1(그림 그리기)이 핵심이 됩니다. 각 점에 "사라까지의 최단 거리" 라벨(1, 2, 3, 또는 경로가 없으면 ∞)을 적어 두면 "누가 초대받는가?" 가 단순한 분류 문제로 바뀝니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "초대받지 못함" 을 두 묶음으로 나눕니다 — 사라와 다른 연결 성분에 있는 점들, 그리고 사라와 같은 성분에 있지만 거리가 3 이상인 점들. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 교차 검증: 마지막에 "초대받음" 의 개수를 세어 20 에서 빼도 같은 답이 나와야 합니다.

1STEP 1

각 점에 사라까지의 거리를 적습니다. 사라와 바로 이어진 점이 8 개이니, 이들이 거리 1 친구입니다.

거리 1: {p,o,d,e,j,k,q,s}, |·|=8

2STEP 2

각 친구에서 선분을 하나 더 따라가 친구의 친구를 모으면, 거리 2 집합은 6 개이고 모두 초대받습니다.

거리 2: {b,c,f,r,t,i}, |·|=6

3STEP 3

"초대받지 못함" 을 겹치지 않는 두 묶음으로 나눕니다. A: 사라에게 경로가 없는 점. B: 같은 성분이지만 거리 3 이상인 점.

초대받지 못함 = A ∪ B, A ∩ B = ∅

4STEP 4

묶음 A(연결 안 됨): 왼쪽 아래 삼각형 l-m-n 이 3 명, 외톨이 점 a 가 1 명이니 |A| = 4.

|A| = 3 + 1 = 4

5STEP 5

묶음 B(너무 먼 점): 사슬 e-f-g-h-i-j 에서 가운데 g, h 가 거리 3 이므로 |B| = 2.

|B| = |{g,h}| = 2

6STEP 6

겹치지 않는 두 묶음을 더하면 4 + 2 = 6, 선택지 (D).

|A| + |B| = 4 + 2 = 6 → (D)

7STEP 7

여집합 검산: 초대 8 + 6 = 14 명, 20 - 14 = 6 명이 미초대 — 직접 셈과 일치.

20 - (8 + 6) = 20 - 14 = 6

정답

두 가지 독립적인 셈이 모두 6 으로 일치합니다. 직접 셈(4 + 2)과 여집합 셈(20 - 14)이 같은 답을 주죠. 묶음 점검: 8 + 6 + 4 + 2 = 20 으로 모든 점이 정확히 한 번씩 들어갑니다. 답은 적어도 4 이상이어야 합니다 — 떨어져 있는 조각만으로 4 명이 나오니까요. 그래서 (A) 1 은 탈락. 큰 선택지들은 사라의 직접 친구 8 명을 빼고 남은 12 명 중 너무 많은 사람이 미초대여야 가능한데, 그림을 보면 친구의 친구가 6 명이나 잡히므로 (E) 7 같은 큰 값은 안 맞습니다. 중간 값 6 이 정확히 (D)에 해당합니다.

💡핵심 정리

각 점에 "사라까지 몇 걸음?" 을 적고 분류하세요. 거리 1, 2 는 초대, 나머지는 미초대 — 이 AMC 8 그래프 문제는 4학년 분류·덧셈 문제로 바뀌어 답이 6 으로 떨어집니다.

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