AMC 8 · 2008 · #11

학년 4 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitioncomplementary-countingmulti-digit-arithmetic identify-subproblemscomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticset-partition

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

39 명의 8학년 학생이 모두 개나 고양이, 또는 둘 다를 키웁니다. 20 명이 개를, 26 명이 고양이를 키운다고 할 때, 둘 다 키우는 학생은 몇 명인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기)이 가장 깔끔합니다. 개를 키우는 학생의 원과 고양이를 키우는 학생의 원을 겹쳐 그려 보면(벤 다이어그램), 20 + 26 을 계산했을 때 가운데 겹친 부분이 두 번 세어진다는 사실이 한눈에 보이죠. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 그림을 두 줄짜리 식으로 옮깁니다: "개 합 + 고양이 합 = 전체 학생 수 + 겹친 학생 수" 라는 관계에서 20 + 26 - 둘 다 = 39. 뺄셈 한 번으로 답이 나옵니다.

1STEP 1

개 원과 고양이 원을 겹쳐 그려요. 두 원의 합집합이 전체 39 명, 겹친 부분은 "둘 다".

개 원 = 20, 고양이 원 = 26, 합집합 = 39

2STEP 2

두 수를 더하면 20 + 26 = 46 — 하지만 둘 다 키우는 학생을 두 원에서 한 번씩, 두 번 셉니다.

20 + 26 = 46

3STEP 3

합 46 은 실제 39 보다 크고, 그 차이 46 - 39 = 7 이 바로 겹친 인원이에요.

46 - 39 = 7 → 둘 다 = 7

4STEP 4

보기에서 7 은 (A) — 답 글자를 그대로 확인해요.

7 = (A)

정답

답 7 을 다시 끼워 넣어 봅시다. 둘 다 키우는 학생이 7 명이면 개만 키우는 학생은 20 - 7 = 13, 고양이만 키우는 학생은 26 - 7 = 19. 겹치지 않는 세 영역을 모두 더하면 13 + 19 + 7 = 39 — 정확히 학급 전체와 일치합니다. 또한 겹친 학생 수는 더 작은 원(20)을 넘을 수 없고, 20 + 26 = 46 이 전체 39 보다 7 만큼 크니까 답은 7 로 강제됩니다.

💡핵심 정리

두 그룹을 그냥 더하면 양쪽에 모두 속한 사람은 두 번 세어집니다 — 20 + 26 과 진짜 학생 수 39 의 차이가 곧 겹친 학생 수예요. 이 AMC 8 문제가 묻는 건 딱 그것입니다.

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