AMC 8 · 2007 · #13

학년 4 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Two-Set Inclusion-Exclusion: Solve for Missing Region

set-partitionlinear-equations-one-var identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: set-partitionlinear-equations-one-var

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

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문제

두 집합 A 와 B 의 원소 개수가 서로 같습니다. 합집합의 원소가 2007 개, 교집합의 원소가 1001 개라고 할 때, 집합 A 의 원소 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

503

(B)

1006

(C)

1504

(D)

1507

(E)

1510

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 벤 다이어그램 그리기

문제에 이미 벤 다이어그램이 그려져 있고 합집합·교집합 개수를 묻습니다 — 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)가 그대로 들어맞아요. 두 원을 겹쳐 그리고 가운데 겹친 부분(교집합)에 1001 을 적은 다음, 양쪽 초승달 모양 영역을 "A 만" 과 "B 만" 으로 둡니다. |A| = |B| 이므로 두 초승달의 크기가 같습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 합집합 2007 을 "왼쪽 초승달 + 가운데 + 오른쪽 초승달" 세 조각으로 나누면, 대칭성으로 한 초승달의 크기가 단 한 번의 계산으로 나옵니다. 그 초승달에 가운데를 더하면 |A|.

1STEP 1

겹친 두 원을 그려 가운데에 1001, A 만의 초승달을 a, B 만의 초승달을 b 로 둡니다.

가운데 = 1001, 왼쪽 초승달 = a, 오른쪽 초승달 = b

2STEP 2

A 와 B 가 같은 가운데 1001 을 공유하므로 양쪽 초승달이 같습니다: a = b.

a + 1001 = b + 1001 → a = b

3STEP 3

합집합은 세 영역을 한 번씩 세므로 a + 1001 + b = 2007 에 a = b 를 넣어 2a + 1001 = 2007 이 됩니다.

a + 1001 + b = 2007 → 2a + 1001 = 2007

4STEP 4

양변에서 1001 을 빼고 2 로 나누면 각 초승달은 503 입니다.

2a = 2007 - 1001 = 1006 → a = 503

5STEP 5

집합 A 는 초승달 + 가운데이므로 503 + 1001 = 1504, 선택지 (C).

|A| = a + 1001 = 503 + 1001 = 1504 → (C)

정답

1504

벤 다이어그램에 다시 대입해 봅시다. 왼쪽 초승달 503, 가운데 1001, 오른쪽 초승달 503. 그러면 |A| = 503 + 1001 = 1504, |B| = 503 + 1001 = 1504 로 |A| = |B| 가 맞고, 합집합은 503 + 1001 + 503 = 2007, 교집합은 1001 로 모두 주어진 조건과 일치합니다. 크기 감각 점검: |A| 는 교집합 1001 이상, 합집합 2007 이하여야 하고 1504 는 그 사이에 정확히 들어갑니다. 선택지 (A) 503 과 (B) 1006 은 1001 의 교집합을 담을 만큼 크지 못해 자동으로 탈락합니다.

💡핵심 정리

벤 다이어그램만 그리면 이 AMC 8 문제는 4학년 "쪼개서 더하기" 로 풀려요. 합집합 2007 은 가운데 1001 과 똑같은 두 초승달의 합이므로 한 초승달은 503, 따라서 |A| = 503 + 1001 = 1504.

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