경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2000 · #12
학년 4 arithmeticgeometry-2d
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AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제에 주어진 그림이 이미 절반의 풀이를 해 놓았습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 그림을 읽으면 행에는 두 가지 "스타일"만 등장한다는 사실이 보입니다 — 아래쪽 행처럼 2 ft 블록만 쓰는 "바닥형" 행과, 위쪽 행처럼 양 끝을 1 ft 블록으로 막는 "윗형" 행. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 세는 일이 셋으로 쪼개집니다: (a) 바닥형 한 행의 블록 수, (b) 윗형 한 행의 블록 수, (c) 7 행을 번갈아 쌓을 때 두 스타일이 각각 몇 번 나오는지. 한 행에서 블록 수가 적으려면 긴 블록을 많이 써야 하므로 각 행은 자기 자리에서 가능한 한 2 ft 블록을 채우려 하고, 어긋남 규칙은 윗형 행에 정확히 두 개의 1 ft 블록을 강제합니다. 대수는 전혀 필요 없고, 작은 문제마다 곱셈·덧셈 한 번씩이면 끝납니다.
아래 줄 블록 세기
블록 높이가 1 ft 라 7 ft 벽은 7 행. 한 행을 2 ft 블록으로만 채우는 게 가장 쌉니다: 100 ÷ 2 = 50개짜리 바닥형 행.
100 ft 를 가장 긴 블록(2 ft)으로 나눈 50 개가 한 행이 쓸 수 있는 블록의 최솟값.
4.OA.A.3Draw A Diagram윗줄 블록 세기
위 행은 2 ft 만으론 안 됨(이음선 겹침). 양 끝을 1 ft 로 막고 98 ft 를 49개 2 ft 블록으로 채우면 51개짜리 윗형 행.
양 끝에 1 ft "마감 블록" 두 개를 끼우면 가운데 이음선이 모두 1 ft 씩 밀려, 위 행의 이음선이 홀수 위치 3, 5, 7, …, 97에 떨어집니다 — 아래 이음선 위에는 절대 오지 않습니다.
4.OA.A.3Draw A Diagram가장 적은 배치인지 확인하기
한 행의 블록 수 = 100 - 2 ft 블록 수. 어긋난 행은 마감 블록 2개가 강제돼 최소 51개. 결국 50·51 교대가 최적.
1 ft 블록 하나를 끼울 때마다 전체 블록 수가 1 씩 늘어나므로, 어긋남을 깨지 않는 선에서 가능한 한 적게 끼워야 합니다.
모두 2피트인 줄과 엇갈리게 쌓아야 하는 줄은 블록이 적어도 51개 필요하며, 이는 모두 2피트인 줄의 50개보다 하나 많다. 그래서 규칙을 지키는 가장 값싼 벽은 50개짜리 줄과 51개짜리 줄을 번갈아 쌓는다.
▸ 왜?
모두 2피트인 줄이 한 줄로 만들 수 있는 가장 값싼 줄로 블록 50개짜리인데, 100피트를 1피트 블록 대신 2피트 블록으로 더 많이 덮을수록 줄에 들어가는 블록 수가 줄기 때문이다.
▸ 왜?
한 줄의 블록들은 그 100피트를 빈틈도 겹침도 없이 채우므로 블록 길이의 합이 정확히 100피트이고, 어떤 변경도 이 합을 유지해야 한다.
▸ 왜?
100피트 전체를 2피트 블록으로 덮으려면 50개가 필요한데, 2피트짜리 묶음 50개가 100피트를 이루기 때문이며, 2피트 블록 하나를 1피트 블록 두 개로 바꾸면 길이는 그대로지만 블록이 하나 늘어난다.
▸ 왜?
모두 2피트인 줄 바로 위의 줄은 모두 2피트 블록일 수 없고 1피트 블록이 적어도 두 개 필요하므로, 블록을 적어도 51개 담는다.
▸ 왜?
모두 2피트인 줄은 2부터 98까지 모든 짝수 피트에 이음매가 있어서, 위 줄을 2피트 블록만으로 만들면 같은 짝수 이음매가 되풀이되어 엇갈림 규칙을 어긴다. 그래서 이음매를 짝수 피트에서 벗어나게 옮기려면 1피트 블록이 적어도 하나 필요하다.
▸ 왜?
0피트인 평평한 끝에서 2피트 블록만 놓으면, 블록 몇 개 뒤의 이음매든 그 개수의 두 배 피트 자리에 놓이고 어떤 정수의 두 배는 짝수이므로, 모든 이음매가 짝수 피트에 놓인다.
▸ 왜?
1피트 블록 하나만으로는 안 되는데, 그러면 2피트 블록이 채울 몫으로 99피트가 남고, 2피트 블록을 몇 개 놓든 짝수 피트를 덮는 반면 99는 홀수이기 때문이다. 1피트 블록 두 개면 짝수인 98피트가 남고 이는 정확히 2피트 블록 49개로 나뉜다.
일곱 줄 쌓아 더하기
7행을 교대로 쌓기: 1, 3, 5, 7행 바닥형(4 × 50), 2, 4, 6행 윗형(3 × 51). 합 200 + 153 = 353.
값싼 행 4 개 + 살짝 비싼 행 3 개 — 곱셈 두 번과 덧셈 한 번으로 세 작은 문제의 답이 합쳐집니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems어긋난 벽에 나올 수 있는 행은 단 두 가지 — 값싼 50 블록 행(2 ft 블록만)과 약간 비싼 51 블록 행(2 ft 블록 + 1 ft 마감 두 개). 7 행을 번갈아 쌓으면 4 × 50 + 3 × 51 = 353 블록, 정답 (D).
- 아래 줄 블록 세기
- 윗줄 블록 세기
- 가장 적은 배치인지 확인하기
- 일곱 줄 쌓아 더하기
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