경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2024 · #7

학년 4 geometry-2d

유형 Grid Tiling / Packing with Divisibility └ 세부 유형 Rectangular Tiling — Minimize Filler Count

area-rectanglesparitymodular-arithmetic modular-arithmeticparity-coloring ↑ 선수 지식: area-rectanglesdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 7 직사각형(총 21칸)을 2 × 2 타일, 1 × 4 타일, 1 × 1 타일 세 종류만으로 겹치지 않게 빈틈없이 덮을 때, 사용해야 하는 1 × 1 타일의 최소 개수를 보기 (A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 4, (E) 5 중에서 고른다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

직사각형과 타일이 모두 격자 위 도형이므로 도구 #1(그림 그리기)로 3×7 모눈을 직접 그려 놓고 타일을 채우는 것이 가장 자연스럽다. 문제를 두 개의 작은 질문으로 쪼갠다(도구 #7): (가) '4칸짜리 큰 타일'과 '1칸짜리 작은 타일'의 칸 수를 더해서 21이 되려면 1칸 타일은 몇 개가 가능한가? (나) 그 후보 개수로 실제로 덮을 수 있는가? (가)는 21을 4로 나눈 나머지를 보는 4학년 수준의 나눗셈 추론으로 끝나고, (나)는 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 그림 위에 큰 타일을 직접 놓아 보면 된다. 후보가 1, 5뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로도 두 경우만 검사하면 끝난다. 대수(도구 #13)는 필요 없다.

1STEP 1

타일이 덮는 칸 수 세기

4학년 넓이로 쪼개기: 판은 3 × 7 = 21칸, 큰 타일은 4의 배수만 덮으니 1 × 1 개수 c는 21에서 4의 배수를 뺀 나머지다.

3 × 7 = 21 = 4 × (큰 타일 수) + c

2STEP 2

21을 4로 나눠 나머지 정하기

나누기: 21 ÷ 4 = 5 나머지 1이므로 c는 1, 5, 9, …만 가능하다. 보기 중엔 1과 5뿐이라 답은 1 또는 5다.

21 ÷ 4 = 5 나머지 1 → c ∈ {1, 5, 9, 13, …}

3STEP 3

1×1 타일 한 개로 시도하기

모눈에서 c=1 시험: 큰 타일 5개로 20칸을 덮어야 하지만, 정확히 한 칸만 남기는 배치는 없다. 이유는 다음 단계의 색칠이 보여 준다.

c = 1 → 4 × 5 + 1 = 21, 큰 타일 5개로 20칸 덮기 필요

4STEP 4

열에 색칠해 불가능 보이기

열을 R,B,R,…로 칠하면 빨강 12칸·파랑 9칸. 큰 타일은 늘 빨강 2·파랑 2를 덮어 차이 3을 못 줄이니, c=1로는 못 메운다.

빨강 칸 = 12, 파랑 칸 = 9, 차이 = 3 ; 큰 타일은 차이를 바꾸지 못함 → c ≥ 3 + (같이 놓인 R·B 쌍)

그림에 색을 칠해 빨강과 파랑 개수의 '차이 3'이라는 한 줄 사실을 만들고, 다단계 추론으로 c=1이 그 차이를 못 메운다는 것을 본다.

3 × 7 판은 1 × 1 타일 하나만으로는 덮을 수 없다.

▸ 왜?

7개의 열을 빨강부터 시작해 빨강, 파랑으로 번갈아 칠하면 빨강 열 4개와 파랑 열 3개가 되어, 판에는 빨강 칸이 파랑 칸보다 정확히 3개 더 많다.

▸ 왜?

각 열에는 3칸이 있으므로 빨강 열 4개는 4 × 3 = 12개의 빨강 칸을, 파랑 열 3개는 3 × 3 = 9개의 파랑 칸을 가지며, 12 - 9 = 3이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

모든 2 × 2 타일과 1 × 4 타일은 빨강 칸과 파랑 칸을 똑같은 수만큼 덮으므로, 큰 타일을 아무리 놓아도 빨강이 파랑보다 3 많은 차이는 바뀌지 않는다.

▸ 왜?

2 × 2 타일은 이웃한 2개 열에, 가로로 놓인 1 × 4 타일은 이웃한 4개 열에 걸치는데, 이웃한 열을 짝수 개 연속으로 덮는 덩어리는 빨강 열과 파랑 열을 같은 수만큼 차지한다.

▸ 왜?

열이 빨강, 파랑, 빨강, 파랑으로 이어지므로, 짝수 개의 이웃한 열은 빨강-파랑 짝으로 정확히 나뉘어 각 짝마다 빨강 하나와 파랑 하나가 있어 빨강과 파랑의 수가 같아진다.

짝수와 홀수(패리티)정수는 2로 나누어지면 짝수, 아니면 홀수; 홀×홀은 홀수, 짝×무엇이든 짝수다.

▸ 왜?

큰 타일 하나마다 (빨강 빼기 파랑) 값을 0만큼 바꾸므로, 큰 타일을 몇 개 더 놓아도 그 차이는 정확히 3에 머문다.

덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.

▸ 왜?

따라서 1 × 1 타일들만으로 3만큼의 차이를 전부 메워야 하는데, 1 × 1 타일 하나는 빨강을 파랑보다 많아야 1까지만 올릴 수 있어 3에는 못 미친다.

▸ 왜?

타일 하나는 한 색의 한 칸만 덮으므로, 1 × 1 타일 하나에서 빨강에 놓인 수에서 파랑에 놓인 수를 뺀 값은 많아야 그 한 타일까지일 뿐 결코 3이 될 수 없다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

4.OA.A.3Draw A Diagram

5STEP 5

다섯 개짜리 배치 만들기

이제 c=5 시험: 2 × 2 셋으로 위 2 × 6을, 1 × 4 하나로 왼쪽 아래를 덮고, 남은 5칸은 1 × 1로 채운다.

A & A & C & C & D & D & s ; A & A & C & C & D & D & s ; B & B & B & B & s & s & s → c = 5

6STEP 6

되는 것 중 가장 작은 값 고르기

정리: c는 1, 5, 9, …인데 c=1은 색칠 차이로 불가능, c=5는 위 배치로 가능하니 최소는 5, 정답은 (E)다.

c_min = 5 → (E) 5

정답

c=5가 답이라는 것은 두 가지 사실이 모두 맞아야 한다: (1) 21 - 5 = 16 = 4 × 4이므로 큰 타일 4개가 16칸을 빈틈없이 덮을 수 있어야 하고, (2) 그것보다 작은 후보인 c=1은 빨강·파랑 칸 수 차이 3 때문에 결코 만들 수 없다. (1)은 2 × 2 세 개로 윗쪽 2 × 6 영역을, 1 × 4 한 개로 아래쪽 1 × 4 영역을 덮어 직접 보였고, (2)는 열을 R/B로 번갈아 색칠해 큰 타일이 R과 B를 항상 같은 수로 덮는다는 그림 사실로 보였다. 두 사실이 모두 일관되므로 답 (E) 5는 옳다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 직사각형 넓이와 배수·나머지 개념만 알면 풀 수 있어요!

타일이 덮는 칸 수 세기
21을 4로 나눠 나머지 정하기
1×1 타일 한 개로 시도하기
열에 색칠해 불가능 보이기
다섯 개짜리 배치 만들기
되는 것 중 가장 작은 값 고르기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

타일이 덮는 칸 수 세기

21을 4로 나눠 나머지 정하기

1×1 타일 한 개로 시도하기

열에 색칠해 불가능 보이기

다섯 개짜리 배치 만들기

되는 것 중 가장 작은 값 고르기

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