AMC 8 · 2000 · #13

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

angle-sum-triangleisosceles-trianglesupplementary-angles identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 CAT 는 ∠ ACT = ∠ ATC 인 이등변삼각형이고, 꼭지각 ∠ CAT = 36° 입니다. 선분 TR 가 ∠ ATC 를 이등분하며 R 은 변 CA 위에 있습니다. ∠ CRT 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$36^\circ$

(B)

$54^\circ$

(C)

$72^\circ$

(D)

$90^\circ$

(E)

$108^\circ$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이미 그림이 주어져 있으므로 도구 #1(그림 그리기)에 따라 모든 각을 그림 위에 직접 읽어 적는 방식이 가장 깔끔합니다. 이등분선 TR 가 큰 삼각형 △ CAT 안에서 우리가 구해야 하는 각을 품은 작은 삼각형 △ CRT 를 잘라냅니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 두 번의 짧은 "삼각형 내각의 합" 작업으로 쪼개세요. 먼저 △ CAT 에서 밑각 ∠ ATC 를 구하고, 그다음 두 각을 이미 아는 △ CRT 에서 ∠ CRT 를 구합니다. "삼각형 세 각의 합은 180°" 외에는 식도 필요 없습니다.

1STEP 1

△ CAT 내각의 합에서 두 밑각이 180° - 36° 를 반씩 나눠 ∠ ATC = 72°.

∠ ACT = ∠ ATC =

\frac{180° - 36°}{2}

\frac{144°}{2}

= 72°

2STEP 2

TR 가 ∠ ATC = 72° 를 이등분하니 △ CRT 안쪽 조각은 ∠ RTC = 36°.

∠ RTC =

\frac{1}{2}

∠ ATC =

\frac{72°}{2}

= 36°

3STEP 3

△ CRT 에서 C 각은 여전히 ∠ ACT = 72°, T 각은 ∠ RTC = 36° 이므로 ∠ CRT = 72°.

∠ CRT = 180° - ∠ RCT - ∠ RTC = 180° - 72° - 36° = 72° → (C)

정답

72°

두 가지 점검. (i) △ CRT 내각의 합: 72° + 36° + 72° = 180°. (ii) 외각 관점: ∠ CRT 는 △ ART 의 R 에서의 외각이므로 두 원격 내각의 합 ∠ RAT + ∠ ATR = 36° + 36° = 72° 와 같습니다 — 같은 답. 함정 선택지도 흔한 실수와 짝지어 있습니다. (A) 36° 는 꼭지각이나 이등분 조각에서 멈춘 경우, (B) 54° 는 108° 를 반으로 나눈 경우(꼭지각과 밑각을 헷갈림), (E) 108° 는 180° - 72°, 즉 CA 위에서 R 의 다른 쪽 각.

💡핵심 정리

그림 위에 알 수 있는 각을 모두 적어 두면, 작은 삼각형 △ CRT 안에 72° 와 36° 가 이미 있습니다 — 나머지 한 각은 자동으로 180° - 72° - 36° = 72°.

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