AMC 8 · 2006 · #19

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

isosceles-trianglesimilar-triangleslogical-deduction identify-subproblems ↑ 선수 지식: isosceles-triangle

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

이등변삼각형 △ ABC 에서 AB = BC 입니다. 점 D 는 BC 와 AE 의 중점이고, CE = 11, △ ABD ≅ △ ECD 입니다. BD 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

4.5

(C)

(D)

5.5

(E)

AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) 로 도형을 다시 그리고 주어진 정보를 모두 표시합니다. 두 변이 같다는 조건 AB = BC, 점 D 가 두 선분의 중점이라는 사실, 그리고 CE = 11 까지 한눈에 보여야 합니다. 도구 #12(대칭 활용하기) 는 합동 표기 △ ABD ≅ △ ECD 에서 대응 꼭짓점을 읽어내는 데 쓰입니다. 순서대로 A ⇔ E, B ⇔ C, D ⇔ D 이므로 AB 와 EC 가 대응변이고, CE = 11 이라는 정보가 곧 AB = 11 로 옮겨집니다. 이등변 조건과 중점 조건만 더하면 변수를 도입할 필요 없이 세 문장으로 풀립니다.

1STEP 1

AB = BC 인 △ ABC 를 그리고, D 가 BC 와 AE 의 중점이 되도록 E 를 놓은 뒤 알려진 길이 CE = 11 을 적습니다.

AB = BC, BD = DC, AD = DE, CE = 11

2STEP 2

합동 △ ABD ≅ △ ECD 는 A–E, B–C, D–D 대응이라 AB 와 EC 가 짝, 즉 AB = 11.

△ ABD ≅ △ ECD → AB = EC = 11

3STEP 3

이등변삼각형이라 AB = BC 이고 AB = 11 이므로 BC = 11 입니다.

AB = 11, AB = BC → BC = 11

4STEP 4

D 가 BC 의 중점이므로 BD 는 BC 의 절반, BD = $\frac{11}{2}$ = 5.5 입니다.

BD =

\frac{1}{2}

BC =

\frac{11}{2}

= 5.5 → (D)

정답

5.5

△ ABD ≅ △ ECD 의 대응변을 모두 확인해 봅시다. 첫 삼각형의 BD 는 두 번째 삼각형의 CD 와 짝이 되어야 하고, 실제로 D 가 BC 의 중점이므로 두 길이 모두 5.5 로 같습니다. AD 는 ED 와 짝이어야 하는데, 이는 D 가 AE 의 중점이라는 두 번째 조건과 정확히 일치합니다. 그리고 AB = EC = 11 은 우리가 이미 사용한 짝입니다. 세 쌍이 모두 일관되므로 BD = 5.5 — 답 (D). 다른 선택지 (4, 4.5, 5, 6) 는 모두 BC ≠ 11 을 강제하므로 AB = EC = 11 흐름과 모순됩니다.

💡핵심 정리

합동인 삼각형은 적힌 꼭짓점 순서대로 짝을 맞춥니다. AB = EC = 11 만 알면 이등변 조건에서 BC 도 11, 중점이 그 절반을 알려 줍니다.

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