AMC 8 · 2005 · #9

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

isosceles-triangleangle-sum-triangle identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleisosceles-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사각형 ABCD 에서 꼭짓점 B 에서 만나는 두 변의 길이는 AB = BC = 10, 꼭짓점 D 에서 만나는 두 변의 길이는 CD = DA = 17 입니다. D 에서의 각은 ∠ ADC = 60° 입니다. 대각선 AC 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

13.5

(B)

(C)

15.5

(D)

(E)

18.5

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1 (그림 그리기) 로 대각선 AC 를 그리면 사각형이 두 삼각형 △ ABC 와 △ ADC 로 갈라집니다. 쓸 만한 정보를 모두 가진 쪽은 △ ADC 뿐입니다 — 두 변의 길이(DA = CD = 17) 와 그 사이 각(60°) 이 한꺼번에 주어져 있죠. 꼭짓점 B 쪽의 10 들은 이 문제에서는 미끼입니다. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 사각형 문제 전체를 "△ ADC 의 나머지 한 변 AC 구하기" 라는 한 가지 부분 문제로 줄이고, 이등변 구조 + 60° 꼭지각에서 세 각이 모두 60° 가 됨을 끌어내면 정삼각형이 되어 AC = 17 이 별도 계산 없이 떨어집니다.

1STEP 1

대각선 AC 를 그으면 ABCD 가 △ ABC 와 △ ADC 로 갈라지고, 주어진 값은 모두 △ ADC 안에 있습니다.

△ ADC: DA = 17, CD = 17, ∠ ADC = 60°

2STEP 2

△ ADC 는 두 변이 같아(DA = CD = 17) 이등변삼각형이고, 두 밑각 ∠ DAC = ∠ DCA 입니다.

DA = CD → ∠ DCA = ∠ DAC

3STEP 3

삼각형 내각 합 180° 로 x + x + 60° = 180°, 따라서 밑각 x = 60° 입니다.

x + x + 60 = 180 → 2x = 120 → x = 60

4STEP 4

세 각이 모두 60° 이므로 △ ADC 는 정삼각형 — 세 변이 같아 AC = DA = CD = 17 입니다.

∠ ADC = ∠ DAC = ∠ DCA = 60° → AC = 17 → (D)

정답

답 AC = 17 은 선택지에 있고, 정삼각형이라는 결론과 맞게 DA = CD = 17 과 정확히 같습니다. 또한 볼록사각형에서 대각선은 인접한 두 변의 합보다 짧고(17 + 17 = 34, 10 + 10 = 20) 그 차보다 커야 하는데(17 - 10 = 7) 17 은 그 사이에 편안하게 들어갑니다. 꼭짓점 B 쪽의 10 들이 끝까지 쓰이지 않은 점도 "이 문제는 정말 △ ADC 하나만 보면 된다" 는 신호입니다.

💡핵심 정리

대각선 AC 는 두 삼각형의 공통 변이지만, 주어진 17, 17, 60° 는 한쪽 삼각형에만 모여 있어요. 꼭지각이 60° 인 이등변삼각형은 정삼각형이 될 수밖에 없으니, 나머지 한 변도 그대로 17 입니다.

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