AMC 8 · 2003 · #6

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pythagorean-theoremperfect-squaresarea-trianglesspatial-visualization identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: perfect-squaresarea-trianglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림에서 세 정사각형이 안쪽 삼각형의 변을 따라 붙어 있습니다. 정사각형의 넓이는 각각 25, 144, 169입니다. 안쪽 삼각형의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

300

(E)

1800

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림은 각 정사각형을 삼각형의 한 변에 대응시키므로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 단계로 나눕니다 — (1) 각 정사각형의 넓이에서 변의 길이를 구하고, (2) 변이 5, 12, 13 인 삼각형이 어떤 삼각형인지 확인하고, (3) 그 넓이를 구합니다. 도구 #10(관련 문제 활용하기)은 5-12-13 이 잘 알려진 피타고라스 수임을 떠올리는 것입니다. 그러면 피타고라스 정리의 역으로 (3)이 쉬워집니다 — 직각삼각형이고 두 변이 곧 밑변과 높이입니다.

1STEP 1

각 넓이의 제곱근이 그 정사각형의 변이니 5, 12, 13 입니다.

√(25) = 5, √(144) = 12, √(169) = 13

2STEP 2

삼각형의 각 변은 정사각형의 변과 같으므로 삼각형의 세 변은 5, 12, 13 입니다.

삼각형의 세 변 = 5, 12, 13

3STEP 3

5² + 12² = 13² 이니 피타고라스 정리의 역으로 5, 12 가 직각변인 직각삼각형입니다.

5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² → 밑변과 높이가 5, 12 인 직각삼각형

4STEP 4

두 직각변이 밑변과 높이이므로 넓이는 곱의 절반: $\frac{1}{2}$ · 5 · 12 = 30.

넓이 =

\frac{1}{2}

· 5 · 12 = 30 → (B)

정답

선택지로 확인해 봅시다. (A) 13 은 변의 길이이지 넓이가 아니므로 함정입니다. (E) 1800, (D) 300 은 너무 큽니다 — 이 직각삼각형은 한 변이 12 인 정사각형 안에 들어가므로 넓이는 144 보다 작아야 합니다. (C) 60 = 5 · 12 는

\frac{1}{2}

를 빼먹은 값입니다. 한계 조건과

\frac{1}{2}

· 5 · 12 양쪽에 모두 맞는 답은 (B) 30 뿐이므로 정답이 확인됩니다.

💡핵심 정리

각 정사각형의 넓이가 삼각형 한 변의 길이를 알려 줍니다. 5-12-13 직각삼각형이 보이면 넓이는 $\frac{1}{2}$ · 5 · 12 = 30 으로 끝납니다.

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