AMC 8 · 2000 · #15

학년 5 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

perimetersimilar-figuresfraction-multiplication identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: perimetermulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

정삼각형 ABC, ADE, EFG 가 서로 맞물려 있습니다. D 는 AC 의 중점, G 는 AE 의 중점입니다. AB = 4 일 때, 일곱 꼭짓점 도형 ABCDEFG 의 둘레 (선분 AB, BC, CD, DE, EF, FG, GA 의 합)를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림에 정삼각형 세 개가 중점으로 맞물려 있는 모습이 그대로 보입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 각 선분에 길이를 적어 두면 둘레는 그림에서 바로 읽을 수 있어요 — 대수가 필요 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 삼각형별 단계로 나눠 줍니다. △ ABC 의 한 변이 △ ADE 의 크기를 정하고 (AD 가 AC 의 절반이므로), △ ADE 의 한 변이 다시 △ EFG 의 크기를 정합니다 (EG 가 AE 의 절반이므로). 모든 선분에 라벨이 붙으면 둘레는 3학년 덧셈 한 줄이에요.

1STEP 1

△ ABC 는 정삼각형이라 AB = 4 이면 세 변이 모두 같아 BC = 4, AC = 4.

AB = BC = AC = 4

2STEP 2

D 가 AC 를 반으로 나눠 AD = 2, 정삼각형 ADE 로 DE = AE = 2, 남는 CD = 2.

AD = DE = AE = 2, CD = AC - AD = 4 - 2 = 2

3STEP 3

G 가 AE 를 반으로 나눠 GE = 1, 정삼각형 EFG 로 EF = FG = 1, 남는 GA = 1.

EF = FG = GE = 1, GA = AE - GE = 2 - 1 = 1

4STEP 4

일곱 선분을 더합니다 (AE 는 내부): 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15, 답 (C).

AB + BC + CD + DE + EF + FG + GA = 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15 → (C)

정답

크기 점검을 해 봅시다. △ ABC 만의 둘레는 4 + 4 + 4 = 12. 우리 도형의 둘레는 △ ABC 의 한 변 AC 를 우회 경로 C → D → E → F → G → A 로 바꿉니다. 이 우회 경로의 길이는 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 7. 따라서 전체 둘레는 12 - 4 + 7 = 15 — (C) 와 일치합니다. 함정 선택지도 짚어 보세요. (A) 12 는 △ ABC 만의 둘레로, 우회 경로를 잊은 경우입니다. (E) 21 은 세 정삼각형의 모든 변을 다 더한 값 (12 + 6 + 3) 으로, 내부 선분 AE 와 중점이 만든 두 절반을 중복해서 센 경우입니다.

💡핵심 정리

삼각형 하나하나가 앞 삼각형의 절반 크기 (4 → 2 → 1)입니다. 둘레 위의 모든 선분에 길이를 적은 뒤 더하면 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 15, 답은 (C) 입니다.

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