AMC 8 · 2000 · #17

학년 6 arithmetic
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation
fraction-arithmeticfunction-evaluationorder-of-operations identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
0 이 아닌 두 수에 대해 새 연산이 a ⊗ b = a2b\frac{a²}{b} 로 정의되어 있어요. [(1 ⊗ 2) ⊗ 3] - [1 ⊗ (2 ⊗ 3)] 의 값을 구하세요. 양쪽 식에 들어가는 세 수는 같지만 괄호 위치가 달라서, 어느 수가 "제곱되는 자리" 에 놓이는지가 달라집니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$-\frac{2}{3}$
(B)
$-\frac{1}{4}$
(C)
0
(D)
$\frac{1}{4}$
(E)
$\frac{2}{3}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

괄호 구조가 일을 네 번의 작은 대입으로 깔끔하게 나눠 주니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 자연스럽게 들어맞아요. 양쪽 모두 안쪽 ⊗ 를 먼저 계산하고, 그 결과를 바깥쪽 ⊗ 에 넣은 뒤 마지막에 두 값의 차를 구합니다. ⊗ 는 결합법칙이 성립하지 않으므로 — 왼쪽 수만 제곱되니까 — 양쪽 값은 같지 않고, 그 차이가 답입니다. AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기) 을 안전장치로 둡니다: 왼쪽은 매우 작고 오른쪽은 1 에 가까우므로 차이는 반드시 음수, 이것만으로도 (C), (D), (E) 가 지워집니다.

1STEP 1

네 번의 대입으로 쪼개기: 양쪽 안쪽 ⊗ 를 먼저, 그다음 바깥쪽 ⊗, 마지막에 왼쪽 - 오른쪽.

[(1 ⊗ 2) ⊗ 3] - [1 ⊗ (2 ⊗ 3)]
2STEP 2

왼쪽 안쪽 ⊗: a = 1, b = 2 를 넣어 1 을 제곱하고 2 로 나누면 12\frac{1}{2}.

1 ⊗ 2 = 122\frac{1²}{2} = 12\frac{1}{2}
3STEP 3

왼쪽 바깥쪽 ⊗: 12\frac{1}{2} 을 제곱해 14\frac{1}{4}, 그것을 3 으로 나누면 112\frac{1}{12}.

(12\frac{1}{2}) ⊗ 3 = (12)23\frac{(\frac{1}{2})²}{3} = 143\frac{\frac{1}{4}}{3} = 112\frac{1}{12}
4STEP 4

오른쪽 안쪽 ⊗: a = 2, b = 3 을 넣어 2 를 제곱해 4, 3 으로 나누면 43\frac{4}{3}.

2 ⊗ 3 = 223\frac{2²}{3} = 43\frac{4}{3}
5STEP 5

오른쪽 바깥쪽 ⊗: 1 을 제곱하고 43\frac{4}{3} 으로 나누기 = 역수 34\frac{3}{4} 곱하기 → 34\frac{3}{4}.

1 ⊗ 43\frac{4}{3} = 1243\frac{1²}{\frac{4}{3}} = 1 · 34\frac{3}{4} = 34\frac{3}{4}
6STEP 6

왼쪽 - 오른쪽, 공통분모 12 로: 112\frac{1}{12} - 912\frac{9}{12} = −23-\frac{2}{3}.

112\frac{1}{12} - 34\frac{3}{4} = 112\frac{1}{12} - 912\frac{9}{12} = −812-\frac{8}{12} = −23-\frac{2}{3}
7STEP 7

−23-\frac{2}{3} 과 맞는 선택지는 (A) 뿐. 부호 검산(오른쪽 34\frac{3}{4} 가 왼쪽 112\frac{1}{12} 보다 큼)만으로 (C), (D), (E) 가 지워집니다.

−23-\frac{2}{3} → (A)
정답
−23-\frac{2}{3}
부호와 크기를 점검해 봅시다. 오른쪽 값 34\frac{3}{4} 가 1 에 가까운 까닭은 1 을 1 보다 살짝 큰 수 (43\frac{4}{3}) 로 나누었기 때문입니다. 왼쪽 값 112\frac{1}{12} 가 훨씬 작은 까닭은 분수 (12\frac{1}{2}) 를 제곱해 14\frac{1}{4} 로 더 작아진 뒤 다시 자연수 3 으로 나누었기 때문입니다. 그러니 왼쪽 - 오른쪽 은 "작은 값 - 1 근처 값" — 분명히 음수이며 작지도 않습니다. −23-\frac{2}{3} 과 잘 맞아요. 또한 답이 0 이 아니라는 사실은 ⊗ 가 결합법칙을 만족하지 않는다는 점을 그대로 보여 줍니다 — 만약 결합법칙이 성립했다면 차이가 0 (선택지 (C)) 이 되었을 것이고, 사실 이 문제가 진짜로 묻는 것이 바로 그 차이예요.
💡핵심 정리

괄호가 "어느 수가 제곱되는지" 를 정하고, 분수를 제곱하면 더 작아지지만 자연수를 제곱하면 커지죠 — 바로 이 비대칭 때문에 양쪽 값이 같지 않고, 차이는 −23-\frac{2}{3}, 답은 (A) 입니다.

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