경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2000 · #17

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

fraction-arithmeticfunction-evaluationorder-of-operations identify-subproblemsformula-substitution ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticorder-of-operations

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

0이 아닌 두 수에 대해 새 연산이 a ⊗ b =

\frac{a²}{b}

로 정의되어 있어요. [(1 ⊗ 2) ⊗ 3] - [1 ⊗ (2 ⊗ 3)] 의 값을 구하세요. 양쪽 식에 들어가는 세 수는 같지만 괄호 위치가 달라서, 어느 수가 "제곱되는 자리" 에 놓이는지가 달라집니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\frac{2}{3}$

(B)

$-\frac{1}{4}$

(C)

(D)

$\frac{1}{4}$

(E)

$\frac{2}{3}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

괄호 구조가 일을 네 번의 작은 대입으로 깔끔하게 나눠 주니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 자연스럽게 들어맞아요. 양쪽 모두 안쪽 ⊗ 를 먼저 계산하고, 그 결과를 바깥쪽 ⊗ 에 넣은 뒤 마지막에 두 값의 차를 구합니다. ⊗ 는 결합법칙이 성립하지 않으므로 — 왼쪽 수만 제곱되니까 — 양쪽 값은 같지 않고, 그 차이가 답입니다. AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기)을 안전장치로 둡니다: 왼쪽은 매우 작고 오른쪽은 1에 가까우므로 차이는 반드시 음수, 이것만으로도 (C), (D), (E)가 지워집니다.

1STEP 1

네 번 대입으로 나누기

네 번의 대입으로 쪼개기: 양쪽 안쪽 ⊗ 를 먼저, 그다음 바깥쪽 ⊗, 마지막에 왼쪽 - 오른쪽.

[(1 ⊗ 2) ⊗ 3] - [1 ⊗ (2 ⊗ 3)]

2STEP 2

왼쪽 안쪽 계산하기

왼쪽 안쪽 ⊗: a = 1, b = 2를 넣어 1을 제곱하고 2로 나누면 $\frac{1}{2}$ .

1 ⊗ 2 = 1²/2 = 1/2

3STEP 3

왼쪽 바깥쪽 계산하기

왼쪽 바깥쪽 ⊗: $\frac{1}{2}$ 을 제곱해 $\frac{1}{4}$ , 그것을 3으로 나누면 $\frac{1}{12}$ .

(1/2) ⊗ 3 = (1/2)²/3 = 1/4/3 = 1/12

4STEP 4

오른쪽 안쪽 계산하기

오른쪽 안쪽 ⊗: a = 2, b = 3을 넣어 2를 제곱해 4, 3으로 나누면 $\frac{4}{3}$ .

2 ⊗ 3 = 2²/3 = 4/3

5STEP 5

오른쪽 바깥쪽 계산하기

오른쪽 바깥쪽 ⊗: 1을 제곱하고 $\frac{4}{3}$ 으로 나누기 = 역수 $\frac{3}{4}$ 곱하기 → $\frac{3}{4}$ .

1 ⊗ 4/3 = 1²/4/3 = 1 · 3/4 = 3/4

6STEP 6

두 값 빼기

왼쪽 - 오른쪽, 공통분모 12로: $\frac{1}{12}$ - $\frac{9}{12}$ = $-\frac{2}{3}$ .

1/12 - 3/4 = 1/12 - 9/12 = -8/12 = -2/3

3/4를 9/12로 다시 쓰는 것은 5학년 "공통분모" 단계이고, -8/12를 분자·분모 모두 4로 나눠 약분합니다.

식 전체 [(1 ⊗ 2) ⊗ 3] − [1 ⊗ (2 ⊗ 3)] 은 −2/3 이 된다.

▸ 왜?

왼쪽 묶음은 먼저 1 ⊗ 2 를 1/2 로 바꾸고, 그 결과에 ⊗ 3 을 적용하는데, 분수 1/2 을 제곱하면 작아져 (1/2)²/3 = 1/12 가 된다.

▸ 왜?

규칙에 따라 1 ⊗ 2 는 왼쪽 입력 1 을 제곱하고 2 로 나누는데, 1 을 제곱해도 그대로이므로 1 ⊗ 2 = 1/2 이다.

곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.

▸ 왜?

분수 1/2 을 제곱한다는 것은 자기 자신과 곱하는 것이며, 그 결과는 1/4 이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

1/4 을 3 으로 나누는 것은 세 배하면 1/4 이 되는 수를 묻는 것이고, 1/12 을 세 번 모으면 1/4 이므로 그 수는 1/12 이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

오른쪽 묶음은 먼저 2 ⊗ 3 을 4/3 로 바꾸고, 그 결과에 1 ⊗ 를 적용하는데, 왼쪽 입력 1 을 제곱해도 1 이므로 오른쪽은 1 근처에 머무른다: 1 ⊗ (4/3) = 1/4/3 = 3/4.

▸ 왜?

규칙에 따라 2 ⊗ 3 은 왼쪽 입력 2 를 제곱해 4 를 얻고 3 으로 나누므로 2 ⊗ 3 = 4/3 이며, 2 의 제곱은 2 개씩 2 묶음이라 4 이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

왼쪽 입력 1 을 제곱해도 1 이므로 1 ⊗ (4/3) 은 그저 1 을 4/3 로 나눈 것이 된다.

곱셈의 항등원 (1)어떤 수의 1묶음은 그 수 자체 — 1을 곱하면 아무것도 안 바뀐다.

▸ 왜?

1 을 4/3 로 나누는 것은 4/3 과 곱해 1 이 되는 수를 묻는 것이고, 그것은 역수인 3/4 이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

왼쪽의 1/12 이 오른쪽의 3/4 보다 훨씬 작아서, 왼쪽에서 오른쪽을 빼면 0 아래로 내려가 −2/3 이 된다.

▸ 왜?

3/4 의 분자와 분모에 똑같이 3 을 곱해 분모를 12 로 바꾸어도 값은 변하지 않으므로 3/4 = 9/12 이다.

동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.

▸ 왜?

둘 다 12분의 수로 쓰면 1/12 에서 9/12 을 뺀다는 것은 12분의 1 이 1개에서 9개를 빼는 것이므로 (1 − 9) 개의 12분의 1, 즉 −8/12 이다.

분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.

▸ 왜?

−8/12 의 분자와 분모를 똑같이 4 로 나누어도 값은 변하지 않으므로 −2/3 이 된다.

동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.

5.NF.A.1Identify Subproblems

7STEP 7

선택지와 맞춰 보기

$-\frac{2}{3}$ 과 맞는 선택지는 (A) 뿐. 부호 검산(오른쪽 $\frac{3}{4}$ 가 왼쪽 $\frac{1}{12}$ 보다 큼)만으로 (C), (D), (E)가 지워집니다.

-2/3 → (A)

정답

-2/3

부호와 크기를 점검해 봅시다. 오른쪽 값

\frac{3}{4}

가 1에 가까운 까닭은 1을 1 보다 살짝 큰 수 (

\frac{4}{3}

)로 나누었기 때문입니다. 왼쪽 값

\frac{1}{12}

가 훨씬 작은 까닭은 분수 (

\frac{1}{2}

)를 제곱해

\frac{1}{4}

로 더 작아진 뒤 다시 자연수 3으로 나누었기 때문입니다. 그러니 왼쪽 - 오른쪽 은 "작은 값 - 1 근처 값" — 분명히 음수이며 작지도 않습니다.

-\frac{2}{3}

과 잘 맞아요. 또한 답이 0이 아니라는 사실은 ⊗ 가 결합법칙을 만족하지 않는다는 점을 그대로 보여 줍니다 — 만약 결합법칙이 성립했다면 차이가 0 (선택지 (C))이 되었을 것이고, 사실 이 문제가 진짜로 묻는 것이 바로 그 차이예요.

💡핵심 정리

괄호가 "어느 수가 제곱되는지" 를 정하고, 분수를 제곱하면 더 작아지지만 자연수를 제곱하면 커지죠 — 바로 이 비대칭 때문에 양쪽 값이 같지 않고, 차이는 $-\frac{2}{3}$ , 답은 (A)입니다.

네 번 대입으로 나누기
왼쪽 안쪽 계산하기
왼쪽 바깥쪽 계산하기
오른쪽 안쪽 계산하기
오른쪽 바깥쪽 계산하기
두 값 빼기
선택지와 맞춰 보기

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네 번 대입으로 나누기

왼쪽 안쪽 계산하기

왼쪽 바깥쪽 계산하기

오른쪽 안쪽 계산하기

오른쪽 바깥쪽 계산하기

두 값 빼기

선택지와 맞춰 보기

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