AMC 8 · 2000 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumerationfraction-arithmetic caseworksystematic-enumerationtree-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

케이코는 공정한 동전 1 개를 던지고, 에프라임은 공정한 동전 2 개를 던집니다. 에프라임이 나온 앞면 개수가 케이코의 앞면 개수와 같을 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{2}{3}$

(E)

$\frac{3}{4}$

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

세 동전을 합쳐도 같은 확률의 결과가 8 가지뿐이라 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 전부 적어 일치 경우를 세는 게 가장 직관적입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 한 단계 더 깔끔합니다 — 케이코의 결과(앞면 0 개 vs 1 개)로 경우를 나누고, 각 경우에 에프라임의 4 결과 중 몇 개가 일치하는지 세면, 큰 나열 하나 대신 작은 나열 둘로 끝납니다.

1STEP 1

독립인 공정한 동전 3 개이므로 H/T 수열은 2 × 2 × 2 = 8 가지, 각각 확률 $\frac{1}{8}$ .

|표본공간| = 2³ = 8

2STEP 2

케이코의 결과로 나눕니다 — 케이코 0 개면 에프라임도 0 개, 1 개면 1 개. 서로 겹치지 않는 두 경우.

P(일치) = P(K = 0, E = 0) + P(K = 1, E = 1)

3STEP 3

경우 1 — 둘 다 0 개: 케이코 1 가지(T), 에프라임 1 가지(TT), 곱하면 1 · 1 = 1 — 수열 TTT.

경우 1 수 = 1 · 1 = 1

4STEP 4

경우 2 — 둘 다 1 개: 케이코 1 가지(H), 에프라임은 두 자리 중 하나(HT, TH), 곱하면 1 · 2 = 2 — HHT, HTH.

경우 2 수 = 1 · 2 = 2

5STEP 5

두 경우 수를 더해 표본공간으로 나눕니다 — 일치는 1 + 2 = 3 가지, 전체는 같은 확률 8 가지.

P(일치) = (1 + 2)/8 =

\frac{3}{8}

→ (B)

정답

\frac{3}{8}

8 개 수열을 모두 적어 확인합니다(케이코 먼저, 에프라임 두 개): TTT, TTH, THT, THH, HTT, HTH, HHT, HHH. 앞면 개수를 비교하면 일치하는 수열은 TTT (0 = 0), HTH (1 = 1), HHT (1 = 1) — 정확히 8 중 3 가지이므로 P =

\frac{3}{8}

. 크기 감각으로도 맞습니다: 일치가 가장 가능성 있는 단일 사건이지만 절반엔 못 미치므로

\frac{1}{4}

와

\frac{1}{2}

사이여야 하고,

\frac{3}{8}

= 0.375 가 그 범위에 들어갑니다.

💡핵심 정리

동전 3 개의 결과는 8 가지뿐 — 케이코의 결과로 경우를 나누고 에프라임의 일치 수열을 세면 1 + 2 = 3, 즉 $\frac{3}{8}$ .

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