AMC 8 · 2008 · #14

학년 7 counting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Arrangement Block Type

systematic-enumerationcombinations-basiccasework caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: systematic-enumerationmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

3 × 3 격자의 9 칸에 A 세 개, B 세 개, C 세 개를 놓아, 각 행과 각 열에 세 글자가 정확히 한 번씩 들어가도록 합니다. 왼쪽 위 모서리 칸에 이미 A 가 놓여 있을 때, 나머지를 채우는 방법은 몇 가지인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 신중하게 세기

행과 열 규칙이 동시에 걸린 경우의 수 문제이니 도구 #13(신중하게 세기)이 중심입니다. 한꺼번에 세면 헷갈리니까 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 단계별로 진행합니다 — 먼저 남은 A 두 개의 위치, 그다음 B 세 개의 위치, 마지막에 C 세 개의 위치. 도구 #1(그림 그리기)로 3 × 3 격자를 옆에 두면 어떤 칸이 고정됐고 어떤 칸이 자유로운지가 한눈에 보입니다. 마지막에 곱셈 원리로 단계별 경우의 수를 묶어 답을 냅니다.

1STEP 1

모서리 A가 행 1·열 1을 채우니 남은 두 A는 오른쪽 아래 2 × 2 블록의 대각선 또는 반대각선 — 2가지.

남은 A 배치 수 = 2

2STEP 2

A 패턴을 정하면 맨 윗줄 B는 두 칸 중 하나, 그 한 선택이 나머지 B를 모두 강제 — 2가지.

A 가 정해진 뒤 B 배치 수 = 2

3STEP 3

각 행·열에 A와 B가 이미 있으니 남은 세 칸에는 C만 들어갈 수 있어 — 1가지.

A, B 가 정해진 뒤 C 배치 수 = 1

4STEP 4

곱셈 원리로 단계별 경우의 수를 묶으면 2 × 2 × 1, 모두 4가지.

총 배치 수 = 2 × 2 × 1 = 4 → (C)

정답

네 가지 격자를 직접 적어 확인합니다. A 가 주대각선 (1,1),(2,2),(3,3) 에 있는 두 경우는 행 (A,B,C),(C,A,B),(B,C,A) 와 (A,C,B),(B,A,C),(C,B,A), A 가 (1,1),(2,3),(3,2) 에 있는 두 경우는 (A,B,C),(B,C,A),(C,A,B) 와 (A,C,B),(C,B,A),(B,A,C) 입니다. 정확히 4 가지가 서로 다르게 나옵니다. 또 다른 확인: 세 글자로 만드는 3 × 3 라틴 사각형은 총 12 개이고 대칭성에 의해 그중 정확히

\frac{12}{3}

= 4 개가 왼쪽 위 칸에 A 를 가집니다. 두 방식 모두 4.

💡핵심 정리

글자 종류별로 차근차근 놓아 보세요. 남은 A 자리 2 가지, B 자리 2 가지, C 는 선택 없음 — 2 × 2 × 1 = 4 가지.

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