AMC 8 · 2016 · #23

학년 7 geometry-2d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

angle-sum-triangleline-symmetryspatial-visualization identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleline-symmetry

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

반지름이 같은 두 원의 중심을 각각 A, B라 합시다. 두 원은 서로의 중심을 지나도록 겹쳐져 있습니다. A와 B를 지나는 직선을 양쪽으로 연장해서 두 원과 만나는 먼 점을 각각 C(A 너머)와 D(B 너머)라 하고, 두 원이 만나는 두 교점 중 하나를 E라 합시다. 이때 ∠ CED의 크기를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

105

(C)

120

(D)

135

(E)

150

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

문제에 그림이 없으니 첫 단계는 도구 #1(그림 그리기) 입니다. 겹친 두 원, 중심 A와 B, 그 둘을 지나는 직선, 먼 점 C와 D, 그리고 교점 E 하나를 그려 놓고 AE, BE, AB 를 모두 그어 보면 길이가 모두 반지름 r 로 같다는 사실이 한눈에 보입니다. 그림 안에 정보가 많으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 ∠ CED 를 세 조각 ∠ CEA, ∠ AEB, ∠ BED 로 나누어, 각각 작은 삼각형 △ CAE, △ ABE, △ BDE 한 개씩만 보고 풀면 됩니다. 세 조각을 더하면 답이 나옵니다.

1STEP 1

그림을 그려 겹친 두 원과 C, D, E를 표시하고 AE, BE, AB를 그으면 △CAE, △ABE, △BDE가 꼭짓점 E에서 만납니다.

AB = r, AE = r, BE = r, CA = r, BD = r

2STEP 2

가운데 △ABE는 세 변이 모두 r이라 정삼각형이고 모든 각이 60°, 특히 ∠AEB = 60°입니다.

AB = AE = BE = r → △ ABE 정삼각형 → ∠ AEB = ∠ EAB = 60°

3STEP 3

C, A, B가 일직선이라 ∠CAE = 180° − 60° = 120°, CA = AE = r인 이등변삼각형 밑각에서 ∠AEC = 30°.

2 · ∠ AEC + 120° = 180° → ∠ AEC = 30°

4STEP 4

오른쪽도 대칭이라 A, B, D가 일직선이면 ∠EBD = 120°, BD = BE = r인 이등변삼각형에서 ∠BED = 30°입니다.

2 · ∠ BED + 120° = 180° → ∠ BED = 30°

5STEP 5

E에서 EC, EA, EB, ED가 차례로 벌어지므로 ∠CED = 30° + 60° + 30° = 120°, 정답은 (C).

∠ CED = 30° + 60° + 30° = 120° → (C)

정답

120

답 120° 는 90° 와 180° 사이의 값으로, 그림과 잘 맞습니다. E 는 직선 CD 위쪽에 있고, EC 와 ED 는 직각보다 넓고 평각보다 좁게 벌어집니다. 다른 길로도 확인할 수 있습니다 — CB 는 원 A 의 지름(2r) 이고 E 가 원 A 위에 있으므로 탈레스 정리에 의해 ∠ CEB = 90° 입니다. 여기에 이미 구한 ∠ BED = 30° 를 더하면 ∠ CED = 90° + 30° = 120° 로, (C) 가 한 번 더 확인됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 때 배우는 "직선 위 두 각의 합은 180°, 삼각형 내각의 합도 180°" 만 알면 풀 수 있어요!

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