AMC 8 · 2002 · #21

학년 7 probabilitycounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Count of Type

probability-basiccombinations-basiccomplementary-countingfraction-arithmetic caseworkcomplementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

해럴드가 공정한 동전을 4 번 던집니다. 앞면 수가 뒷면 수 이상이 될 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{5}{16}$

(B)

$\frac{3}{8}$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$\frac{5}{8}$

(E)

$\frac{11}{16}$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

4 번 던졌을 때 '앞면 ≥ 뒷면' 조건은 앞면 수에 따라 깔끔하게 갈립니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 사건을 앞면이 정확히 2, 3, 4 인 세 가지 서로소 경우로 나누고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 경우에서 4 자리 중 어디가 앞면인지를 골라 셉니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 빠른 점검에 좋아요. 대칭에 의해 '앞면이 더 많다'와 '뒷면이 더 많다'는 같은 확률이므로 1 에서 '정확히 동수'만 빼면 됩니다.

1STEP 1

앞면 + 뒷면 = 4 이므로 '앞면 ≥ 뒷면'은 '앞면 ≥ 2', 즉 앞면 2, 3, 4 인 세 서로소 경우입니다.

앞면 수 ≥ 뒷면 수 ⟺ 앞면 수 ∈ {2, 3, 4}

2STEP 2

4 번의 독립 던지기는 각각 H 또는 T 이므로 표본공간은 2×2×2×2 = 16 가지 동등한 결과 순서입니다.

|표본공간| = 2⁴ = 16

3STEP 3

앞면 2 번은 4 자리 중 앞면 2 자리를 고르면 되므로 C(4,2) = 6 가지입니다.

C(4, 2) = 6

4STEP 4

앞면 3 번은 뒷면 1 자리를 고르면 되어 C(4,3) = 4, 앞면 4 번은 HHHH 하나로 C(4,4) = 1 입니다.

C(4, 3) = 4, C(4, 4) = 1

5STEP 5

서로소인 세 경우를 더하면 유리한 결과는 6 + 4 + 1 = 11 가지, 동등한 16 가지 중에서입니다.

P(앞면 수 ≥ 뒷면 수) =

\frac{6 + 4 + 1}{16}

\frac{11}{16}

→ (E)

정답

\frac{11}{16}

11 이라는 셈을 다른 방향에서 확인합니다. 전체 결과 순서는 16 가지. 뒷면이 앞면보다 정말로 많은 경우는 앞면 0 번(C(4, 0) = 1, TTTT)과 앞면 1 번(C(4, 1) = 4, HTTT, THTT, TTHT, TTTH)으로 총 5 가지입니다. 따라서 앞면 ≥ 뒷면인 경우는 16 - 5 = 11 가지 →

\frac{11}{16}

, 답 (E) 와 일치합니다. 직관적으로도 절반 정도는 동수이거나 앞면 우세이고, 거기에 '동수까지 우리 편으로 셈'에서 약간의 보너스가 붙으므로 확률이

\frac{1}{2}

보다 살짝 크게 나오는 것이 맞고,

\frac{11}{16}

= 0.6875 가 정확히 그 위치입니다.

💡핵심 정리

16 가지 결과 순서를 '앞면 수'로 묶어 보면, 앞면 ≥ 뒷면 사건은 C(4, 2) + C(4, 3) + C(4, 4) = 11 가지 — 7학년 조직적 나열 한 번으로 풀립니다.

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