AMC 8 · 2000 · #25

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-rectanglesarea-trianglescoordinate-geometryfraction-multiplication area-differenceidentify-subproblemscoordinate-geometry ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

직사각형 ABCD 의 넓이가 72 입니다. BC 의 중점을 M, CD 의 중점을 N 이라 하고 A, M, N 을 이어 삼각형을 만듭니다. △ AMN 의 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

△ AMN 의 변들은 직사각형 변과 나란하지 않아서 넓이를 직접 재기 어렵습니다. 도구 #16 (관점 바꾸기) 으로 시선을 뒤집습니다 — A, M, N 이 직사각형의 세 모서리에서 직각삼각형 세 개를 잘라내고, 가운데 남는 부분이 바로 △ AMN 입니다. 모서리의 직각삼각형들은 두 변이 직사각형 변 위에 있어 넓이가 쉽게 구해집니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 세 모서리 조각을 눈에 보이게 만들고, 도구 #9 (더 쉬운 문제로 줄이기) 로 넓이 72 인 편한 직사각형 (예: 12 × 6) 을 골라 자연수 계산만 하도록 만듭니다. 중점 구성으로 만들어지는 안쪽 삼각형의 넓이는 직사각형의 모양과 무관하게 넓이에만 의존하므로 이렇게 골라도 답은 같습니다.

1STEP 1

직사각형 ABCD 를 그리고 BC 에 M, CD 에 N 을 표시한 뒤 넓이 72 인 편한 크기를 고릅니다: AB = 12, BC = 6.

AB = 12, BC = 6, 넓이(ABCD) = 12 × 6 = 72

2STEP 2

M 은 BC 의 중점이므로 BM = MC = 3, N 은 CD 의 중점이므로 CN = ND = 6.

BM = MC = 3, CN = ND = 6

3STEP 3

세 모서리 직각삼각형은 두 변이 직사각형 변 위에 있어 넓이가 쉽습니다: [ABM] = 18, [MCN] = 9, [AND] = 18.

[ABM] = 18, [MCN] = 9, [AND] = 18

4STEP 4

세 모서리 삼각형이 △ AMN 바깥을 모두 덮으니 전체에서 빼면: [AMN] = 72 - 45 = 27 → (B).

[AMN] = 72 - (18 + 9 + 18) = 72 - 45 = 27 → (B)

정답

답이 직사각형의 모양과 무관함을 확인합니다. AB = 9, BC = 8 (역시 넓이 72) 로 다시 해 보면 BM = 4, CN = 4.5, AD = 8. 그러면 [ABM] =

\frac{1}{2}

(9)(4) = 18, [MCN] =

\frac{1}{2}

(4)(4.5) = 9, [AND] =

\frac{1}{2}

(4.5)(8) = 18. 합은 45, [AMN] = 72 - 45 = 27. 같은 답이 나옵니다 — 넓이는 직사각형의 넓이에만 의존한다는 것이 확인됩니다. 일반화하면 AB = l, BC = w 일 때 [ABM] = lw/4, [MCN] = lw/8, [AND] = lw/4, 합은 5lw/8, [AMN] = lw - 5lw/8 = 3lw/8 =

\frac{3}{8}

(72) = 27. 답은 (B).

💡핵심 정리

삼각형 AMN 은 기울어져 있어 넓이를 바로 재기 어렵습니다. 그래서 질문을 뒤집습니다 — 모서리에 끼어 있는 세 직각삼각형 ABM, MCN, AND 는 직사각형 변 위에 놓여 있어 넓이가 쉽게 구해져요 (18 + 9 + 18 = 45). 직사각형 넓이에서 빼면 72 - 45 = 27, 답은 (B). "구하려는 것 대신 주변을 세라" 는 이 전략은 넓이가 72 이기만 하면 어떤 직사각형이어도 똑같이 통합니다.

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