AMC 8 · 2002 · #22

학년 6 geometry-3d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Rectilinear Frame / Box Border

surface-areaspatial-visualizationface-adjacency identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: area-rectanglesmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 1 인치인 정육면체 6 개가 그림처럼 서로 붙어 있습니다. 위, 아래, 옆면을 모두 포함한 이 입체의 총 겉넓이를 제곱인치 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

울퉁불퉁한 입체의 보이는 면을 하나씩 세는 건 실수가 잦습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 시선을 뒤집어요. 6 개 정육면체가 분리되어 있다고 가정한 총 면적(6 × 6 = 36)에서 시작해, 다른 정육면체에 눌려 가려진 면들만 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 가려진 면을 찾기 쉬워집니다 — 두 정육면체가 만나는 자리 하나당 접점 하나, 접점 하나당 단위 면 2 개가 사라집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 두 조각으로 정리합니다: (a) 분리된 정육면체들의 총 면적, (b) 접점에서 가려진 면적.

1STEP 1

6 개 정육면체가 따로라고 가정하면 각각 면이 6 개라 6 × 6 = 36 장.

분리된 총합 = 6 개 × 6 면 × 1 in² = 36 in²

2STEP 2

그림을 정육면체 하나씩 따라가며 면 전체를 공유하는 쌍을 세면 접점은 5 곳.

접점 = 5

3STEP 3

접점 하나는 면 2 개(각 정육면체 한 개씩)를 가리니 5 × 2 = 10 장이 사라져요.

가려진 면 = 5 × 2 = 10, 가려진 면적 = 10 × 1 = 10 in²

4STEP 4

분리 총합에서 가려진 면적을 빼면 36 - 10 = 26 in² → (C).

겉넓이 = 36 - 10 = 26 in² → (C)

정답

두 가지로 확인합니다. 첫째, 접점마다 면 2 개가 가려지므로 겉넓이는 36 에서 짝수만큼 줄어야 합니다. 선택지 18, 24, 26, 30, 36 의 감소량은 18, 12, 10, 6, 0 으로 모두 짝수지만, 그림의 접점 5 개에 대응하는 5 × 2 = 10 과 일치하는 값은 36 - 26 = 10 뿐이라 (C) 만 맞습니다. 둘째, 직관 확인: 정육면체 하나의 겉넓이는 6 이고, 정육면체 6 개를 일자로 붙여도 접점은 5 개라서 36 - 10 = 26 — 본 문제의 모양과 같은 값이 나옵니다. 겉넓이는 정확한 모양이 아니라 접점의 수에만 달려 있다는 좋은 상기점입니다.

💡핵심 정리

정육면체들을 떼어 놓았다고 가정하면 면이 36 장, 두 정육면체가 만나는 자리마다 면 2 장씩 지우면 (5 자리 = 10 장) 남는 게 겉넓이: 36 - 10 = 26.

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