AMC 8 · 2007 · #23

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesarea-rectanglesspatial-visualization area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-trianglesarea-rectangles

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 단위 격자 안에 색칠된 바람개비 도형이 있습니다. 바람개비의 네 날개는 격자의 중심에서 만나고, 바람개비의 윤곽은 격자선과 중심을 지나는 직선 위에 그려져 있습니다. 색칠된 바람개비의 넓이를 제곱 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

: 4

(B)

: 6

(C)

: 8

(D)

: 10

(E)

: 12

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여집합 세기

바람개비의 변은 기울어져 있고 윤곽도 복잡하지만, 색칠되지 않은 영역은 훨씬 단순합니다 — 모서리 단위 정사각형 네 개와 변 위 삼각형 네 개뿐이죠. 이것이 도구 #16(여집합 세기)의 신호입니다: 측정하기 쉬운 쪽을 잰 다음 전체에서 빼면 됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 왼쪽 아래 꼭짓점을 (0,0) 에 두면 중심은 (2.5, 2.5) 가 되고 모든 날개 끝의 좌표가 깔끔해집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 색칠되지 않은 영역을 두 종류 — 1 × 1 정사각형 네 개와 합동 삼각형 네 개 — 로 나누면, 각각이 6학년 기본 넓이 공식으로 떨어집니다.

1STEP 1

왼쪽 아래 꼭짓점을 (0, 0) 에 두면 중심은 (2.5, 2.5), 전체 넓이는 5 × 5 = 25 입니다.

전체 넓이 = 5 × 5 = 25

2STEP 2

각 모서리에는 덮이지 않은 1 × 1 정사각형이 하나씩 있어, 네 모서리 정사각형의 합은 4 입니다.

4 × (1 × 1) = 4

3STEP 3

아래 삼각형은 밑변 3 ((1,0)~(4,0)), 높이 2.5 (중심까지) 이므로 넓이는 3.75 입니다.

삼각형 하나의 넓이 =

\frac{1}{2}

× 3 × 2.5 = 3.75

4STEP 4

바람개비의 4 회 대칭으로 나머지 세 삼각형도 합동이라, 네 삼각형의 합은 15 입니다.

4 × 3.75 = 15

5STEP 5

색칠되지 않은 합 4 + 15 = 19 를 격자의 25 에서 빼면 25 - 19 = 6, 색칠된 바람개비의 넓이입니다.

색칠된 넓이 = 25 - (4 + 15) = 25 - 19 = 6 → (B)

정답

: 6

바람개비는 5 × 5 격자 안에 들어가 있으니 넓이는 분명히 25 미만이어야 합니다. 날개 하나를 대충 1 × 1.5 정도의 띠가 중심 쪽에서 좁아진 모양으로 보면, 네 날개를 합쳐도 몇 제곱 단위 정도라 6 근처가 자연스럽습니다. 답이 6 이면 색칠 6 + 비색칠 19 = 25 라는 깔끔한 분할도 성립합니다. 다른 선택지들은 여집합이 어색합니다 (4 → 21, 8 → 17, 10 → 15, 12 → 13) — 어느 것도 "정사각형 네 개 + 합동 삼각형 네 개" 라는 단순한 그림으로 떨어지지 않습니다.

💡핵심 정리

바람개비 자체는 변이 기울어 까다롭지만, 그 둘레의 빈 공간은 단순합니다: 단위 정사각형 네 개와 똑같은 삼각형 네 개. 그 둘을 더해 25 에서 빼면 바람개비 넓이는 6 으로 떨어집니다.

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