AMC 8 · 2007 · #12

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Polygon Triangulation

area-trianglesratio-proportionsimilar-figures identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-triangles

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

한 변의 길이가 1 인 정육각형의 각 변마다 정삼각형 하나씩, 총 6 개의 정삼각형이 바깥쪽에 붙어 별 모양(헥사그램)을 이룹니다. 바깥쪽 6 개 삼각형의 전체 넓이와 가운데 정육각형 넓이의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1:1

(B)

6:5

(C)

3:2

(D)

2:1

(E)

3:1

AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) 이 핵심입니다. 정육각형의 긴 대각선 세 개를 그어 합동인 정삼각형 6 개로 자르면, 모두 한 변의 길이가 1 인 정삼각형이 됩니다. 그림이 그려진 뒤에는 도구 #5(패턴 찾기) 가 마무리합니다 — 바깥쪽 6 개의 돌출부도 한 변의 길이가 1 인 정삼각형이므로 안쪽 조각과 정확히 합동입니다. 합동인 조각의 개수를 세는 것으로 넓이 공식이 필요 없게 됩니다. 넓이 공식도, √(3) 도, 대수도 쓰지 않습니다.

1STEP 1

긴 대각선 세 개를 그으면 정육각형이 한 변이 1 인 정삼각형 6 개로 나뉩니다.

정육각형 = 6 개의 합동인 정삼각형, 각 한 변 = 1

2STEP 2

각 바깥 돌출부는 정육각형 한 변을 공유하므로 한 변이 1 인 정삼각형 — 안쪽 조각과 합동입니다.

각 돌출부 = 한 변이 1 인 정삼각형 → 안쪽 조각과 합동

3STEP 3

한 변이 1 인 정삼각형 하나의 넓이를 T 라 하면 정육각형은 6T, 6 개 돌출부도 6T 입니다.

정육각형 넓이 = 6T, 6 개 돌출부의 넓이 = 6T

4STEP 4

두 넓이가 같으므로 비는 1{:}1 — 정답 (A).

돌출부/정육각형 = 6T/6T = 1 → 1{:}1 → (A)

정답

1:1

접어서 확인해 봅니다. 별의 바깥 꼭지를 각각 정육각형 변을 따라 안쪽으로 접는다고 상상하면, 접힌 삼각형이 안쪽 6 개 조각 중 하나에 빈틈 없이, 겹침 없이 정확히 포개집니다. 두 삼각형이 합동이 아니면 불가능한 일이므로 넓이가 같다는 결론이 다시 확인됩니다. 또한 6 개의 바깥 삼각형과 6 개의 안쪽 삼각형이 모두 같은 크기라는 대칭과도 잘 맞습니다. (B)~(E) 는 돌출부 넓이가 정육각형 넓이보다 크다고 주장하는데, 접기 논증이 그 가능성을 배제합니다.

💡핵심 정리

정육각형을 정삼각형 6 개로 자르면 별의 6 꼭지가 똑같은 삼각형 — 합동인 조각을 세는 것만으로 공식 없이 넓이비가 나옵니다.

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