AMC 8 · 2000 · #9

학년 6 arithmeticnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

exponentsdigit-constraintssystematic-enumeration systematic-enumerationdigit-constraintscasework ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

작은 크로스넘버 격자에 두 칸 묶음이 있습니다. 1 DOWN 은 세 자리 5 의 거듭제곱, 2 ACROSS 는 세 자리 2 의 거듭제곱입니다. 그림에서 2 ACROSS 는 1 DOWN 의 가운데 행을 가로지르므로, 1 DOWN 의 가운데 자리 숫자가 2 ACROSS 의 첫째 자리 숫자와 같습니다. 굵게 표시된 칸 — 즉 2 ACROSS 의 일의 자리 숫자 — 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

각 밑수의 세 자리 거듭제곱은 후보가 몇 개 안 되므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 5 (또는 2) 를 계속 곱해 100 부터 999 사이에 들어가는 값만 모으면 모든 후보가 손에 들어옵니다. 양쪽 목록이 생기면 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 공유 칸 조건을 처리합니다 — 고른 5 의 거듭제곱의 가운데 자리가 고른 2 의 거듭제곱의 첫째 자리와 같아야 합니다. 양쪽을 나열하는 쪽이 어떤 대수적 우회보다 빠르고 안전합니다.

1STEP 1

999 를 넘을 때까지 5 를 곱하면, 세 자리 5 의 거듭제곱은 125 와 625 입니다.

5¹=5, 5²=25, 5³=125, 5⁴=625, 5⁵=3125. 세 자리: {125, 625}.

2STEP 2

같은 방식으로, 세 자리 2 의 거듭제곱은 128, 256, 512 입니다.

2⁶=64, 2⁷=128, 2⁸=256, 2⁹=512, 2¹⁰=1024. 세 자리: {128, 256, 512}.

3STEP 3

격자는 2 ACROSS 의 첫째 자리를 1 DOWN 의 가운데 자리에 묶는데, 125 와 625 모두 가운데 자리가 2 입니다.

125 → 십의 자리 2. 625 → 십의 자리 2. 어느 쪽이든: 2 ACROSS 의 첫째 자리 = 2.

4STEP 4

128, 256, 512 중 2 로 시작하는 것은 256 뿐이므로 2 ACROSS = 256, 굵게 표시된 칸은 그 일의 자리입니다.

2 ACROSS = 256 → 일의 자리 = 6 → (D)

정답

직접 확인합니다. 5³ = 125 든 5⁴ = 625 든 모두 십의 자리가 2 이므로 공유 칸은 반드시 2. 세 자리 2 의 거듭제곱(128, 256, 512) 중 백의 자리가 2 인 것은 256 하나뿐. 굵게 표시된 칸은 256 의 일의 자리이므로 6. 1 DOWN 으로 두 후보 어느 쪽을 골라도 답이 같으므로, 퍼즐이 유일한 해를 갖는 이유까지 함께 확인됩니다.

💡핵심 정리

퍼즐이 "세 자리 5 의 거듭제곱" 같은 규칙으로 수를 숨기면 후보는 보통 몇 개뿐이니 빠짐없이 적어 보세요. 그러면 격자의 공유 칸이 나머지 일을 대신 해 줍니다.

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