경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2001 · #11

학년 6 geometry-2d
유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates
coordinate-geometryarea-rectanglesarea-triangles coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
좌표평면 위에 네 점 A(3,2), B(3,-2), C(-3,-2), D(-3,0) 이 있습니다. 이 순서대로 이어 사각형 ABCD 를 만들었을 때, 그 넓이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
12
(B)
15
(C)
18
(D)
21
(E)
24

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

좌표가 주어지면 가장 먼저 할 일은 도구 #1(그림 그리기)입니다. 모눈종이에 네 점을 찍고 순서대로 잇기만 해도 사각형의 모양이 한눈에 보입니다. 그런데 변 DA 하나만 비스듬해 다루기 까다롭습니다. 그래서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 씁니다. x 축을 기준으로 사각형을 자르면 아래쪽은 직사각형, 위쪽은 직각삼각형이 되고, 둘 다 가로·세로가 격자선과 나란해 6학년 넓이 공식 한 줄이면 끝납니다. 좌표 공식이나 신발끈 공식(도구 #13) 같은 무거운 도구는 일부러 피했습니다 — 분할이 더 빠르고 초등 공식만으로도 충분하기 때문입니다.

1STEP 1

네 점 찍기

네 점을 찍어 A → B → C → D → A 로 이으면 변 DA 만 비스듬해 ABCD 는 사다리꼴이 됩니다.

A(3,2), B(3,-2), C(-3,-2), D(-3,0)
2STEP 2

x축을 따라 자르기

x 축을 자르는 선으로 삼으면 사각형이 아래 직사각형과 위 직각삼각형으로 깔끔히 나뉩니다.

직사각형: (-3,-2),(3,-2),(3,0),(-3,0) 삼각형: (-3,0),(3,0),(3,2)
3STEP 3

직사각형 넓이 구하기

직사각형 넓이: 가로 6 (x=-33) 곱하기 세로 2 (y=-20)이면 12.

A_직 = 6 × 2 = 12
4STEP 4

삼각형 넓이 구하기

직각삼각형 넓이: 밑변 6 ((-3,0)~(3,0))과 높이 2 ((3,2)까지)의 절반이면 6.

A_삼 = 1/2 × 6 × 2 = 6
5STEP 5

두 조각 더하기

두 조각은 자른 선에서만 만나고 겹치지 않으니 그대로 더하면 18.

A_ABCD = A_직 + A_삼 = 12 + 6 = 18 → (C)
정답
18
테두리 직사각형으로 확인해 봅시다. 네 점을 모두 담는 가장 작은 직사각형은 x ∈ [-3,3], y ∈ [-2,2]로 넓이가 6 × 4 = 24. 우리의 답 18은 24 보다 작아야 하는데 실제로 작고, 빠진 조각은 꼭짓점이 (-3,2),(3,2),(-3,0) 또는 (-3,0),(-3,2),(3,2) 인 직각삼각형으로 넓이는 12\frac{1}{2}(6)(2)=6. 그래서 24-6=18로 일치합니다.
💡핵심 정리

점을 찍고 도형을 직사각형과 직각삼각형으로 쪼개세요 — 둘 다 6학년 넓이 공식이고, 합이 곧 답이에요.

  • 네 점 찍기
  • x축을 따라 자르기
  • 직사각형 넓이 구하기
  • 삼각형 넓이 구하기
  • 두 조각 더하기

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