경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2009 · #7

학년 6 geometry-2d

유형 Coordinate Plane Figure Computation └ 세부 유형 Axis-Aligned Figure Area from Coordinates

coordinate-geometryarea-triangles coordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: coordinate-geometryarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

삼각형 모양의 땅 ACD 의 꼭짓점은 A, C, D 입니다. A 는 동서로 뻗은 Main Street 위에서 점 B 기준 서쪽으로 3 마일 떨어진 곳에 있고, C 는 남북으로 뻗은 철길 위에서 B 기준 북쪽으로 3 마일, D 는 다시 그 위의 3 마일 떨어진 곳에 있습니다. 삼각형 ACD 의 넓이를 평방마일 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

4.5

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

수직으로 만나는 두 도로가 등장하니, 사실상 좌표평면 문제입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 B 를 원점, Main Street 을 x 축, 철길을 y 축에 두면 A, C, D 모두 깔끔한 정수 좌표가 됩니다. C 와 D 가 둘 다 y 축 위에 있어 변 CD 가 수직이 되므로, A 에서 CD 까지의 수직 거리는 그대로 AB — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 넓이 문제를 "CD 의 길이"와 "A 에서 철길까지의 거리" 두 개의 작은 문제로 나누면 됩니다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로는 검산도 됩니다: △ ACD = △ ABD - △ ABC.

1STEP 1

좌표 정하기

B 를 원점, Main Street 을 x 축, 철길을 y 축에 두면 A = (-3, 0), C = (0, 3), D = (0, 6).

A = (-3, 0), C = (0, 3), D = (0, 6)

2STEP 2

밑변 CD 정하기

CD 를 밑변으로: C 와 D 가 모두 y 축 위라 CD 는 수직이고 길이는 6 - 3 = 3 마일.

CD = 6 - 3 = 3 마일

3STEP 3

A에서 높이 구하기

A 에서 밑변 CD(y 축)까지의 높이는 A 의 x 좌표 절댓값 |-3|, 즉 h = 3 마일 — 바로 선분 AB.

h = |-3| = 3 마일

4STEP 4

삼각형 넓이 구하기

$\frac{1}{2}$ · 밑변 · 높이 에 밑변 3, 높이 3을 넣으면 넓이 = 4.5 평방마일 → (C).

넓이 = 1/2 · 밑변 · 높이 = 1/2 · 3 · 3 = 4.5 평방마일 → (C)

정답

4.5

크기 감각으로 확인해 봅니다. 삼각형 ABD 는 꼭짓점이 (-3,0), (0,0), (0,6) 인 직각삼각형이라 두 직각변이 3과 6, 넓이는

\frac{1}{2}

· 3 · 6 = 9 평방마일 — 가장 큰 선택지 (E)와 일치합니다. △ ACD 는 그 큰 삼각형에서 아래쪽 △ ABC (직각변 3, 3, 넓이 4.5)를 떼어낸 모양이므로 9 - 4.5 = 4.5 평방마일이 되어야 합니다. 답 (C)와 정확히 일치하고, 3과 6 사이에 들어가는 값이라 큰 삼각형의 위쪽 절반 크기로 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 좌표평면 넓이만 알면 풀려요 — 한 변을 밑변으로 잡고, 반대쪽 꼭짓점까지의 수직 거리를 재서 $\frac{1}{2}$ · 밑변 · 높이 에 넣으면 끝!

좌표 정하기
밑변 CD 정하기
A에서 높이 구하기
삼각형 넓이 구하기

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좌표 정하기

밑변 CD 정하기

A에서 높이 구하기

삼각형 넓이 구하기

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