AMC 8 · 2001 · #12

학년 6 arithmeticalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

function-evaluationfraction-arithmeticorder-of-operationsformula-substitution identify-subproblems ↑ 선수 지식: order-of-operationsfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

처음 보는 연산이 a ⊗ b =

\frac{a+b}{a-b}

라는 규칙으로 정의되어 있어요. 두 수를 받아 한 수를 돌려주는 "약속" 입니다. 이 약속에 따라 (6 ⊗ 4) ⊗ 3 의 값을 구해야 하는데, 괄호가 있으니 안쪽 ⊗ 부터 먼저 계산해야 합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

괄호 덕분에 식이 "안쪽 먼저, 바깥쪽 나중" 의 구조로 자연스럽게 두 단계로 나뉘기 때문에 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다 — 먼저 안쪽 6 ⊗ 4 의 값을 구하고, 그 결과를 가져와 바깥쪽 ⊗ 3 에 넣으면 됩니다. 낯선 기호 ⊗ 는 "작은 요리법" 처럼 다루어, 기호 양옆의 수를 규칙 속 a, b 자리에 그대로 대입하면 평범한 사칙연산이 됩니다. 그리고 AMC 객관식이니 도구 #3(가능성 지우기) 으로 계산값이 다섯 개 선택지 중 하나와 정확히 맞는지 마지막에 한 번 확인해, 함정 선택지에 안전장치를 둡니다.

1STEP 1

괄호를 먼저: (6 ⊗ 4) ⊗ 3 을 안쪽 계산과 바깥쪽 계산으로 나눕니다.

(6 ⊗ 4) ⊗ 3 = [ 6 ⊗ 4 ] ⊗ 3

2STEP 2

안쪽 쌍에 a = 6, b = 4 로 ⊗ 규칙 적용: 6 ⊗ 4 = $\frac{6+4}{6-4}$ .

6 ⊗ 4 =

\frac{6+4}{6-4}

3STEP 3

계산: $\frac{6+4}{6-4}$ = $\frac{10}{2}$ = 5, 안쪽 값은 5.

\frac{6+4}{6-4}

\frac{10}{2}

= 5

4STEP 4

다시 대입 — 이제 5 ⊗ 3 = $\frac{5+3}{5-3}$ = $\frac{8}{2}$ = 4.

5 ⊗ 3 =

\frac{5+3}{5-3}

\frac{8}{2}

= 4

5STEP 5

4 와 맞는 것은 (A) 뿐; (E) 72 는 ⊗ 를 곱셈으로 착각한 6·4·3, (C) 15 는 다 더한 값.

4 → (A)

정답

중간값 두 개를 따로 검산해 봅시다. 안쪽은 6+4 = 10, 6-4 = 2 이므로

\frac{10}{2}

= 5 — 깔끔한 자연수. 바깥쪽은 5+3 = 8, 5-3 = 2 이므로

\frac{8}{2}

= 4 — 역시 깔끔한 자연수. 두 나눗셈 모두 자연수로 떨어진다는 사실 자체가 "규칙을 제대로 대입했다" 는 강한 신호예요. 규칙을 헷갈리면 보통 분수나 음수가 남거든요. 함정 선택지도 살펴보면 안심이 됩니다: (C) 15 는 모든 수를 합한 값, (D) 30 은 5 · 6, (E) 72 는 6 · 4 · 3 — 각각 학생들이 자주 빠지는 실수와 정확히 맞물려 있어요. 우리는 규칙을 조심스럽게 읽어 모두 피해 갔습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 "식의 글자 자리에 수를 대입해 계산하기" 를 두 번 반복하기만 하면 풀려요!

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