AMC 8 · 2001 · #19

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

rateratio-proportiongraph-reading identify-subproblems ↑ 선수 지식: rateratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

자동차 M은 일정한 속력으로 어떤 시간 동안 달립니다. 속력-시간 그래프에서 점선으로 표시돼 있어요. 자동차 N은 M과 같은 거리를 달리되 속력은 M의 두 배입니다. 각 선택지 그래프에서 M은 점선, N은 실선으로 그려져 있어요. 어느 그래프가 N을 올바르게 보여 줄까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(speed-time graph) N at twice M's speed, both run for the same time

(B)

(speed-time graph) N at twice M's speed, but N runs longer than M

(C)

(speed-time graph) N's speed is lower than M's, same time

(D)

(speed-time graph) N at twice M's speed, N runs for half the time M does

(E)

(speed-time graph) N's speed is lower than M's, same time

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 것 찾기

두 자동차가 공유하는 "변하지 않는 값" 은 거리입니다 — 도구 #11(변하지 않는 것 찾기). 속력-시간 그래프에서 거리는 선분 아래 직사각형의 넓이로 나타나므로, 두 직사각형의 넓이가 같아야 합니다. 속력 비 s_N = 2 s_M 을 대입하면 넓이가 같다는 조건이 시간 비 t_N = $\frac{1}{2}$ t_M 을 강제합니다. "세로 두 배, 가로 절반" 두 조건이 정해지면, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 그래프를 차례로 점검해 둘 중 하나라도 어기는 선택지를 모두 지우면 답이 남습니다.

1STEP 1

두 자동차 모두 같은 거리 d 를 가고, 속력-시간 그래프에서 그 거리는 각 선분 아래 직사각형의 넓이 입니다.

d = s_M · t_M = s_N · t_N

2STEP 2

거리가 고정된 상태에서 속력이 두 배가 되면 N의 시간은 M의 절반이 됩니다.

s_M · t_M = (2 s_M) · t_N → t_N = t_M/2

3STEP 3

그래서 점선 M 옆의 실선 N은 높이는 두 배, 가로는 절반 이어야 합니다.

높이(N) = 2 · 높이(M), 가로 길이(N) =

\frac{1}{2}

· 가로 길이(M)

4STEP 4

각 선택지를 점검하면 하나만 높이 두 배·가로 절반; A·B는 가로, C·E는 높이에서 탈락 → (D).

(A) 가로 실패, (B) 가로 실패, (C) 높이 실패, (D) 통과, (E) 높이 실패 → (D)

정답

(speed-time graph) N at twice M's speed, N runs for half the time M does

구체적인 숫자로 확인해 봅시다. M이 시속 60 마일로 2 시간 달린다면 거리는 60 × 2 = 120 마일. 그러면 N은 시속 120 마일로 같은 120 마일을 가야 하므로 시간은

\frac{120}{120}

= 1 시간. 그래프에서 N은 M의 두 배 높이(120 대 60) 이면서 가로 길이는 절반(1 대 2) 이어야 합니다. (D) 만이 두 조건을 동시에 보여 주므로 답이 일관됩니다.

💡핵심 정리

속력-시간 그래프에서 거리는 각 선분 아래 직사각형의 넓이. 같은 거리에서 속력이 두 배면 시간은 절반 — 두 배 높이, 절반 가로. 이 시각적 한 줄로 (D) 가 잡혀요.

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