AMC 8 · 2001 · #20

학년 6 logic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

logical-deductionif-then-reasoning caseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: logical-deduction

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

케일리아나는 자기 시험 점수를 퀘이, 마티, 셰이나에게 보여 주지만, 세 사람은 각자 자기 점수를 숨깁니다. 그래서 세 사람은 모두 두 점수만 알 수 있습니다 — 케일리아나의 점수와 자기 자신의 점수입니다. 퀘이는 "우리 중 적어도 두 명은 같은 점수야" 라고 생각하고, 마티는 "나는 꼴찌가 아니야", 셰이나는 "나는 1등이 아니야" 라고 생각합니다. 각자 자기가 볼 수 있는 두 점수만으로 확실히 말할 수 있는 사실을 사용해, 마티 (M), 퀘이 (Q), 셰이나 (S) 의 점수를 낮은 것부터 높은 순으로 나열하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

S,Q,M

(B)

Q,M,S

(C)

Q,S,M

(D)

M,S,Q

(E)

S,M,Q

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

각자가 비교할 수 있는 점수는 두 개 — 자기 점수와 케일리아나의 점수 K 뿐입니다. 그러니까 모든 생각은 그 한 번의 비교로 "확실해야" 합니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 가 핵심입니다. 퀘이·마티·셰이나 각각에 대해 자기 점수가 K 보다 큰지·같은지·작은지 세 가지 경우를 따져 생각이 확실해지지 않는 경우를 지웁니다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 는 세 경우를 빠뜨리지 않도록 표 모양으로 정리해 주는 보조 도구예요. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 까지 가지 않아도 짧은 비교 세 번이면 답이 정해집니다.

1STEP 1

퀘이는 자기 점수와 케일리아나 점수만 보므로, 확신할 수 있는 유일한 일치는 Q = K.

Q = K

2STEP 2

마티는 M 과 K 만 보고, 그 한 번의 비교로 "꼴찌 아님" 이 보장되는 경우는 M ＞ K 뿐입니다.

M ＞ K

3STEP 3

거울처럼 뒤집으면, 셰이나의 "1등 아님" 이 보장되는 경우는 S ＜ K 뿐입니다.

S ＜ K

4STEP 4

세 부등식에 K = Q 를 대입하면 한 줄로 S ＜ Q ＜ M.

S ＜ K = Q ＜ M → S ＜ Q ＜ M

5STEP 5

낮은 것부터 높은 순으로 S, Q, M, 선택지 (A) 와 일치합니다.

S, Q, M → (A)

정답

S,Q,M

숫자를 대입해 확인합니다. K = 80 이라고 둡시다. 그러면 Q = 80, M 은 80 보다 큰 아무 값 (예: 90), S 는 80 보다 작은 아무 값 (예: 70). 각 생각을 점검해 보면 — 퀘이는 80, 80 을 보고 두 점수가 같다고 확신할 수 있고, 마티는 80, 90 을 보고 자기 (90) 가 꼴찌가 아님을 확신할 수 있으며, 셰이나는 80, 70 을 보고 자기 (70) 가 1등이 아님을 확신할 수 있습니다. 순서는 70 ＜ 80 ＜ 90, 즉 S ＜ Q ＜ M 으로 답 (A) 와 일치합니다. 다른 선택지는 M 을 누군가 뒤에 두거나 (M ＞ K = Q 에 모순) S 를 누군가 앞에 두어 (S ＜ K = Q 에 모순) 모두 실패합니다.

💡핵심 정리

세 사람 모두 자기 점수와 케일리아나 점수만 비교할 수 있어요. 그러니 모든 생각은 그 한 번의 비교로 "확실해야" 합니다. 퀘이의 "같은 점수" 는 Q = K, 마티의 "꼴찌 아님" 은 M ＞ K, 셰이나의 "1등 아님" 은 S ＜ K 로 강제되고, 묶어 보면 S ＜ Q ＜ M, 답은 (A).

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