AMC 8 · 2001 · #23

학년 8 geometry-2dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role

combinations-basicsimilar-figuresspatial-visualizationsystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: combinations-basicsimilar-figures

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

정삼각형의 세 꼭짓점이 R, S, T 이고, 세 변의 중점이 각각 X, Y, Z 입니다 — 모두 여섯 개의 점입니다. 이 여섯 점 중 세 점을 골라 삼각형을 만들 때, 서로 합동이 아닌 (그리고 일직선이 아닌) 삼각형은 몇 개나 만들 수 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

여섯 점 사이의 거리는 종류가 몇 개 안 되고, 삼각형은 세 변의 길이로 합동까지 결정됩니다. 그래서 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 가 핵심입니다 — 가능한 거리들을 먼저 다 적고, 실제로 등장하는 변 길이 묶음을 종류별로 세면 됩니다. 도구 #1 (그림 그리기) 로 주어진 그림에 모든 거리를 적어 두면 피타고라스 한 번이면 모든 변 길이를 읽어낼 수 있어요. 도구 #16 (관점 바꾸기 — 여사건 세기) 는 정리에 유용합니다: C(6, 3) = 20 가지 세 점 조합 중 일직선인 세 점 3 가지를 빼면 실제 삼각형은 17 개이고, 그것들을 합동 종류로 묶습니다.

1STEP 1

큰 삼각형 RST 의 변을 2 로 두면, 각 짧은 선분(꼭짓점→이웃 중점, 또는 중점→중점)은 길이 1 입니다.

RS = ST = RT = 2, RX = XT = RY = YS = SZ = ZT = 1, XY = YZ = XZ = 1

2STEP 2

꼭짓점에서 마주 보는 중점까지의 선분 SX 는 높이이고, 직각삼각형 RXS 에서 피타고라스 정리로 길이는 √(3) 입니다.

1² + XS² = 2² → XS² = 3 → XS = √(3). 대칭에 의해 RZ = TY = √(3).

3STEP 3

C(6, 3) = 20 중 일직선인 3 개 {R,X,T},{R,Y,S},{S,Z,T} 를 빼면 실제 삼각형은 17 개입니다.

C(6, 3) = 20, 일직선 조합 = 3 → 삼각형 = 17

4STEP 4

변은 1, √(3), 2 뿐이라 17 개의 변 묶음은 네 가지: (2,2,2),(1,1,1),(1,√(3),2),(1,1,√(3)).

종류 1: (2,2,2) 종류 2: (1,1,1) 종류 3: (1,√(3),2) 종류 4: (1,1,√(3))

5STEP 5

각 종류가 등장: RST(1), 정삼각형(4), RXS 직각(6), SXY 이등변(6) — 1 + 4 + 6 + 6 = 17 로 맞습니다.

1 + 4 + 6 + 6 = 17 ✓

6STEP 6

합동 종류의 수 = 서로 다른 변 길이 묶음의 수 = 네 가지 → (D).

서로 합동이 아닌 삼각형 = 4 → (D)

정답

두 가지 짧은 검산. 첫째, 네 변 묶음 (2,2,2), (1,1,1), (1,√(3),2), (1,1,√(3)) 은 누가 봐도 서로 다른 묶음이므로 어떤 두 종류도 합쳐지지 않습니다. 둘째, 삼각부등식을 모두 만족합니다: 1+1 ＞ 1, 1+√(3) ＞ 2 (√(3) ≈ 1.73 이므로 1+√(3) ≈ 2.73 ＞ 2), 1+1 ＞ √(3) (2 ＞ 1.73). 네 종류 모두 실제로 존재합니다. 또 선택지 (E) 20 은 "세 점 고르는 모든 경우의 수" 일 뿐이라서 일직선과 합동을 모두 무시한 함정입니다. 정답 (D) 4 가 우리 분류와 정확히 맞아요.

💡핵심 정리

먼저 그림에 모든 거리를 적으면 등장하는 길이는 1, √(3), 2 뿐이에요. 세 변의 길이가 같은 삼각형은 같은 삼각형이므로, 답은 서로 다른 "변 길이 묶음" 의 개수 — (2,2,2), (1,1,1), (1,√(3),2), (1,1,√(3)), 즉 4 개로 (D).

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