AMC 8 · 2008 · #19

학년 8 geometry-2dcounting

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

combinations-basicprobability-basiccoordinate-geometrysystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: combinations-basicprobability-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

2 × 2 정사각형의 둘레에 1 단위 간격으로 8 개의 점이 놓여 있습니다 — 네 꼭짓점과 각 변의 중점이죠. 이 8 개 중 두 점을 무작위로 고를 때, 두 점 사이 거리가 정확히 1 단위일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{4}$

(B)

$\frac{2}{7}$

(C)

$\frac{4}{11}$

(D)

$\frac{1}{2}$

(E)

$\frac{4}{7}$

AMC 8 2008 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 하나하나 나열하지 않고 세기

유리한 경우의 수를 전체 경우의 수로 나누는 전형적인 확률 문제예요. 도구 #13(나열 없이 세기)으로 전체 쌍의 수 C(8, 2) = 28 을 곧장 구할 수 있고, 도구 #15(시각화)로 그림을 그려 보면 거리 1 인 쌍은 둘레를 따라 인접한 8 개의 짧은 선분뿐이라는 걸 한눈에 셀 수 있습니다. 두 도구를 합치면 $\frac{8}{28}$ = $\frac{2}{7}$ .

1STEP 1

순서는 상관없으니 전체 쌍의 수는 조합 C(8, 2) = 28 입니다.

C(8, 2) =

\frac{8 × 7}{2}

= 28

2STEP 2

둘레를 따라 꼭짓점·중점이 번갈아 나오니, 이웃한 점들이 길이 1 인 간격을 8 개 만듭니다.

둘레 위 8 개 점 → 길이 1 인 둘레 간격 8 개

3STEP 3

이웃이 아닌 쌍은 모두 1 단위보다 멀어(√(2), 2, √(5) 등), 유리한 쌍은 정확히 8 개입니다.

유리한 쌍 = 8

4STEP 4

유리한 쌍을 전체로 나눠 약분하면 $\frac{8}{28}$ = $\frac{2}{7}$ , 정답 (B).

P =

\frac{8}{28}

\frac{2}{7}

→ (B)

정답

\frac{2}{7}

대칭성으로 빠르게 검산해 봅시다. 점을 하나 먼저 골라 보면 — 꼭짓점이든 중점이든 — 나머지 7 개 중 그 점에서 거리 1 인 이웃이 정확히 2 개입니다. 따라서 두 번째 점이 거리 1 인 이웃일 확률은

\frac{2}{7}

, 답 (B) 와 일치합니다. 다른 선택지도 빠르게 배제됩니다: (A)

\frac{1}{4}

\frac{7}{28}

은 유리한 쌍이 7 개여야 하고, (C)–(E) 는 10 개 이상이 필요한데 실제로는 8 개뿐이거든요.

💡핵심 정리

전체 쌍: C(8, 2) = 28. 거리 1 인 쌍: 정사각형 둘레를 따라 가는 짧은 8 걸음. 확률: $\frac{8}{28}$ = $\frac{2}{7}$ .

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