경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2002 · #23

학년 4 geometry-2dcounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionspatial-visualizationfraction-arithmeticratio-proportion pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

타일 바닥의 한 모서리가 보입니다. 바닥 전체가 같은 패턴으로 깔려 있고, 네 모서리 모두 그림과 같은 모양입니다. 어두운 타일이 전체 바닥에서 차지하는 비율을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}3$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{5}8$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

바닥은 머릿속에선 끝없이 펼쳐져 있지만 타일 패턴은 주기적입니다. 도구 #5(패턴 찾기)에 따르면 어두운 비율은 반복되는 한 블록만으로 결정되므로, 바닥 전체를 셀 필요는 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 할 일을 더 줄입니다 — 그림 속 큰 모서리 전체가 아니라, 비율을 그대로 담고 있는 가장 작은 정사각형 블록을 찾으면 됩니다. 모서리에 있는 3 × 3 블록이면 충분합니다. 도구 #1(그림 그리기) — 사실은 이미 주어진 그림을 읽는 것 — 으로 그 3 × 3의 각 칸을 어두움·밝음으로 표시하고 세기만 하면 됩니다.

1STEP 1

한 블록으로 줄이기

같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복 블록 하나의 어두운 비율이 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.

(바닥 위 어두운 수)/(바닥 위 전체 수) = (블록 안 어두운 수)/(블록 안 전체 수)

4학년 "반복 패턴 만들고 분석하기" — 단위가 반복되면 어느 복제본을 보든 똑같으므로, 한 복제본만 봐도 전체 바닥의 답이 나옵니다.

반복되는 한 블록 안에서 어두운 타일이 차지하는 비율은 바닥 전체에서 어두운 타일이 차지하는 비율과 같다.

▸ 왜?

바닥 전체는 그 한 블록을 똑같이 복사한 것을 여러 개 모아 놓은 것일 뿐이므로, 바닥의 어두운 타일 수와 전체 타일 수는 각각 블록의 개수를 복사본 수만큼 취한 것이다.

▸ 왜?

패턴이 반복된다는 것은 바닥의 모든 부분이 같은 블록을 새 자리로 민 것이라는 뜻이고, 블록을 밀면 그 복사본 위에 정확히 포개지므로 어두운 타일은 어두운 타일 위에 놓여 각 복사본은 똑같은 어두운 타일 수와 똑같은 전체 수를 유지한다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

복사본들은 빈틈도 겹침도 없이 바닥을 채우므로 바닥의 어두운 타일은 정확히 모든 복사본의 어두운 타일을 다시 모은 것이고, 크기가 같은 복사본이므로 그 모음은 블록의 어두운 타일 수를 복사본마다 한 번씩 취한 것이다.

▸ 왜?

복사본들을 변끼리 맞대어 덮이지 않은 곳도 두 번 센 곳도 없이 붙이면, 바닥의 타일은 바로 복사본들의 타일을 다시 모아 전체로 만든 것이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

블록의 개수를 복사본마다 한 번씩 같은 양으로 거듭 더하는 것은 그 양을 같은 크기 묶음으로 그만큼 취하는 것과 같으며, 이는 그 개수에 복사본 수를 곱한 것이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

따라서 바닥의 어두운 수 나누기 전체 수는 (블록의 어두운 수 곱하기 복사본 수) 나누기 (블록의 전체 수 곱하기 같은 복사본 수)인데, 이는 블록 자신의 분수의 분자와 분모에 같은 복사본 수를 똑같이 곱한 것이고, 분수의 분자와 분모에 같은 수를 곱해도 값은 변하지 않으므로 바닥의 비율은 블록의 비율과 정확히 같다.

동치분수분수의 분자와 분모에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누어도 값은 변하지 않는다.

4.OA.C.5Look For A Pattern

2STEP 2

가장 작은 블록 고르기

그림 모서리의 3 × 3 정사각형을 봅니다; 네 모서리가 모두 같으니 그 어두운 비율이 바닥 전체와 같습니다.

블록 크기 = 3 × 3 = 9 칸

3STEP 3

각 칸 색 표시하기

그림에서 모서리 3 × 3 블록의 각 칸을 위쪽 행부터 어두움(D)·밝음(L)으로 표시합니다.

L & L & D ; L & D & D ; D & L & L ;

4STEP 4

어두운 칸 세기

1행은 1개, 2행은 2개, 3행은 1개, 그래서 블록에는 어두운 칸이 4개 있습니다.

어두운 수 = 1 + 2 + 1 = 4

5STEP 5

분수로 나타내기

블록의 어두운 칸을 전체 칸으로 나누면 9 중 4, 이것이 바닥 전체의 어두운 비율 — (B).

어두움/전체 = 4/9 → (B)

정답

4/9

\frac{4}{9}

가 그림과 잘 맞는지 확인합니다. 모서리 블록은 절반보다 살짝 적은 부분이 어두운데, 눈으로 본 인상과 일치합니다 — 어두운 바람개비가 한 행을 거의 다 덮고, 다른 행은 한 칸만, 또 다른 행은 거의 비어 있습니다. 바로 위 선택지

\frac{1}{2}

는 정확히 절반이 어두워야 하니 너무 많고, 바로 아래 선택지

\frac{1}{3}

는 9 칸 중 3 칸만 어두워야 하니 너무 적습니다. 네 모서리가 모두 같다는 조건도 "한 블록만 보면 된다" 는 논리를 뒷받침하므로, 작은 블록 한 번의 계산으로 충분합니다.

💡핵심 정리

패턴이 반복될 땐 바닥 전체를 셀 필요가 없어요 — 작은 블록 하나만 세면 됩니다. 3 × 3 모서리 블록의 어두운 타일은 9 중 4, 그래서 답은 $\frac{4}{9}$ 입니다.

한 블록으로 줄이기
가장 작은 블록 고르기
각 칸 색 표시하기
어두운 칸 세기
분수로 나타내기

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한 블록으로 줄이기

가장 작은 블록 고르기

각 칸 색 표시하기

어두운 칸 세기

분수로 나타내기

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