AMC 8 · 2002 · #23

학년 4 geometry-2dcounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionspatial-visualizationfraction-arithmeticratio-proportion pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

타일 바닥의 한 모서리가 보입니다. 바닥 전체가 같은 패턴으로 깔려 있고, 네 모서리 모두 그림과 같은 모양입니다. 어두운 타일이 전체 바닥에서 차지하는 비율을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}3$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{5}8$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

바닥은 머릿속에선 끝없이 펼쳐져 있지만 타일 패턴은 주기적입니다. 도구 #5(패턴 찾기)에 따르면 어두운 비율은 반복되는 한 블록만으로 결정되므로, 바닥 전체를 셀 필요는 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 할 일을 더 줄입니다 — 그림 속 큰 모서리 전체가 아니라, 비율을 그대로 담고 있는 가장 작은 정사각형 블록을 찾으면 됩니다. 모서리에 있는 3 × 3 블록이면 충분합니다. 도구 #1(그림 그리기) — 사실은 이미 주어진 그림을 읽는 것 — 으로 그 3 × 3 의 각 칸을 어두움·밝음으로 표시하고 세기만 하면 됩니다.

1STEP 1

같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복 블록 하나의 어두운 비율이 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.

(바닥 위 어두운 수)/(바닥 위 전체 수) = (블록 안 어두운 수)/(블록 안 전체 수)

2STEP 2

그림 모서리의 3 × 3 정사각형을 봅니다; 네 모서리가 모두 같으니 그 어두운 비율이 바닥 전체와 같습니다.

블록 크기 = 3 × 3 = 9 칸

3STEP 3

그림에서 모서리 3 × 3 블록의 각 칸을 위쪽 행부터 어두움(D)·밝음(L)으로 표시합니다.

L & L & D ; L & D & D ; D & L & L ;

4STEP 4

1행은 1개, 2행은 2개, 3행은 1개, 그래서 블록에는 어두운 칸이 4개 있습니다.

어두운 수 = 1 + 2 + 1 = 4

5STEP 5

블록의 어두운 칸을 전체 칸으로 나누면 9 중 4, 이것이 바닥 전체의 어두운 비율 — (B).

어두움/전체 =

\frac{4}{9}

→ (B)

정답

\frac{4}{9}

\frac{4}{9}

가 그림과 잘 맞는지 확인합니다. 모서리 블록은 절반보다 살짝 적은 부분이 어두운데, 눈으로 본 인상과 일치합니다 — 어두운 바람개비가 한 행을 거의 다 덮고, 다른 행은 한 칸만, 또 다른 행은 거의 비어 있습니다. 바로 위 선택지

\frac{1}{2}

는 정확히 절반이 어두워야 하니 너무 많고, 바로 아래 선택지

\frac{1}{3}

는 9 칸 중 3 칸만 어두워야 하니 너무 적습니다. 네 모서리가 모두 같다는 조건도 "한 블록만 보면 된다" 는 논리를 뒷받침하므로, 작은 블록 한 번의 계산으로 충분합니다.

💡핵심 정리

패턴이 반복될 땐 바닥 전체를 셀 필요가 없어요 — 작은 블록 하나만 세면 됩니다. 3 × 3 모서리 블록의 어두운 타일은 9 중 4, 그래서 답은 $\frac{4}{9}$ 입니다.

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