AMC 8 · 2002 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

mean-median-mode-rangemultiplesmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

서로 다른 양의 짝수 네 개를 고를 때, 이 네 수의 평균이 가질 수 있는 가장 작은 값은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

평균은 합을 4 로 나눈 값이므로, 평균이 가장 작으려면 합이 가장 작아야 합니다. 서로 다른 양의 짝수 네 개로 가장 작은 합을 만들려면 양의 짝수를 작은 쪽부터 차례로 (2, 4, 6, 8, 10, …) 적은 뒤 앞의 네 개를 고르면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순서를 정해 적으면 더 작은 후보를 빠뜨릴 일이 없습니다.

1STEP 1

양의 짝수를 작은 쪽부터 나열하면 앞의 네 개가 가장 작은 서로 다른 선택입니다.

2, 4, 6, 8, 10, 12, …

2STEP 2

앞의 네 개 2, 4, 6, 8 은 모두 서로 다른 양의 짝수이고, 그 합은 20 입니다.

2 + 4 + 6 + 8 = 20

3STEP 3

합을 4 로 나누면 평균 5 — 다른 어떤 선택도 합을 더 줄일 수 없으므로 이것이 최솟값입니다.

\frac{20}{4}

= 5 → (C)

정답

그 평균이 실제로 가능하고 더 작아질 수 없는지 확인합니다. {2, 4, 6, 8} 의 평균은 5 로 실제 예시가 있으므로 5 는 달성 가능합니다. 더 작게 만들 수 있는지 보면, 다른 선택은 이 네 수 중 하나를 빼고 목록에 없는 짝수(적어도 10 이상)로 바꿔야 합니다. 예를 들어 8 을 10 으로 바꾸면 합이 20 에서 22 로 늘어나 평균이 5.5 가 됩니다. 어떤 교체도 합을 줄이지 못하므로 가장 작은 평균은 5 가 맞습니다.

💡핵심 정리

가장 작은 평균은 가장 작은 합에서 나온다 — 그러니 가장 작은 양의 짝수 네 개를 골라 평균을 구하면 끝!

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