경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2002 · #3
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
평균은 합을 4로 나눈 값이므로, 평균이 가장 작으려면 합이 가장 작아야 합니다. 서로 다른 양의 짝수 네 개로 가장 작은 합을 만들려면 양의 짝수를 작은 쪽부터 차례로 (2, 4, 6, 8, 10, …) 적은 뒤 앞의 네 개를 고르면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 순서를 정해 적으면 더 작은 후보를 빠뜨릴 일이 없습니다.
짝수 나열하기
양의 짝수를 작은 쪽부터 나열하면 앞의 네 개가 가장 작은 서로 다른 선택입니다.
4학년 배수: 양의 짝수는 2의 배수입니다. 순서대로 나열하면 가장 작은 네 개가 한눈에 보입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List처음 네 개 더하기
앞의 네 개 2, 4, 6, 8은 모두 서로 다른 양의 짝수이고, 그 합은 20 입니다.
3학년 100 이내 덧셈입니다. 가장 작은 네 개를 더하면 가능한 합 중 가장 작은 합이 됩니다.
3.NBT.A.2Make A Systematic List4로 나누기
합을 4로 나누면 평균 5 — 다른 어떤 선택도 합을 더 줄일 수 없으므로 이것이 최솟값입니다.
6학년 평균: 합 ÷ 개수. 개수는 4로 고정이고 합이 가장 작으므로 평균도 가장 작아집니다.
허용된 모든 선택 중에서, 서로 다른 양의 짝수 가운데 가장 작은 네 개 — 2, 4, 6, 8 — 을 고르면 평균이 될 수 있는 한 가장 작아진다.
▸ 왜?
수의 개수가 넷으로 고정되어 있으므로 평균은 합을 넷으로 똑같이 나눈 몫일 뿐이다. 따라서 합과 평균은 함께 오르내리고, 합이 가장 작은 선택이 곧 평균이 가장 작은 선택이다.
▸ 왜?
서로 다른 양의 짝수 네 개의 합은 2 + 4 + 6 + 8보다 작아질 수 없으므로, 이 선택이 이미 가장 작은 합을 가진다.
▸ 왜?
합은 겹침도 빈틈도 없이 부분들을 이어 붙인 것에 지나지 않으므로, 네 수로 이루어진 두 선택은 부분끼리 맞대어 비교할 수 있다. 한 선택의 모든 부분이 규칙이 허락하는 한 가장 작다면, 그 합도 규칙이 허락하는 한 가장 작다.
▸ 왜?
양의 짝수를 크기 순으로 세우면 — 2 ＜ 4 ＜ 6 ＜ 8 ＜ 10 ＜ … — 대신 데려올 수 있는 다른 짝수는 모두 8보다 뒤에 있으므로 2, 4, 6, 8 하나하나보다 크다. 그 수는 8보다 크고, 8은 나머지 셋보다 크므로, 그 수는 나머지 셋보다도 크다. 고른 수 하나를 이런 더 큰 수로 바꾸면 합은 커지기만 한다.
가장 작은 평균은 가장 작은 합에서 나온다 — 그러니 가장 작은 양의 짝수 네 개를 골라 평균을 구하면 끝!
- 짝수 나열하기
- 처음 네 개 더하기
- 4로 나누기
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