경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2002 · #6

학년 6 rate-ratio
유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration
rategraph-readingpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형
문제
물이 분당 20 ml 로 새 모이통에 들어오고, 분당 18 ml 로 배수됩니다. 모이통이 가득 차면 넘치는 물은 가장자리로 흘러나갑니다. 시간(가로)-부피(세로) 그래프 다섯 개 (A)~(E) 중에서, 채워지기 시작해 넘치는 단계까지 들어간 이 모이통의 모습을 옳게 나타낸 그래프를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
A
(B)
B
(C)
C
(D)
D
(E)
E

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

이야기는 두 단계로 또렷이 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 1단계(가득 차기 전, 채워지는 동안)와 2단계(가득 찬 뒤, 넘치는 동안)를 분리합시다. 각 단계에서 순 변화율은 일정한 상수이므로 각각의 그래프는 직선이고, 모이통이 가득 찬 순간에 기울기가 바뀝니다. 도구 #1(그림 그리기)로 "원점에서 출발해 양의 기울기로 올라가는 선분 + 그 뒤로 이어지는 수평 선분" 이라는 두 조각 모양을 그려 두고 다섯 개 선택지와 맞춰봅니다.

1STEP 1

순수 증가 속도 구하기

채우는 동안: 유입 20 ml/분에서 배수 18 ml/분을 빼면 순 증가율은 2 ml/분.

순 변화율 = 20 - 18 = 2 ml/분
2STEP 2

속도를 그래프로 옮기기

일정한 분당 2 ml 증가는 매 분 같은 양을 더하므로, 그래프는 원점에서 시작하는 양의 기울기 직선.

V(t) = 2t (0 ≤ t ≤ t_가득)
3STEP 3

넘칠 때 모양 살피기

넘치는 동안: 가득 차면 남는 분당 2 ml는 가장자리로 넘쳐, 안쪽 부피는 용량 그대로 고정.

V(t) = V_max (t ≥ t_가득)
4STEP 4

두 구간 이어 붙이기

두 단계를 이으면 올라가는 선 뒤 평평한 꼭대기 — 양의 기울기 뒤 수평선은 그래프 A뿐.

모양 = ↗ 그리고 → → (A)
정답
A
두 조각 모양으로 나머지 선택지를 빠르게 걸러 봅시다. (B)는 처음에 평평했다가 (부피가 아직 늘지도 않은 상태) 내려가는데, 유입이 배수보다 많은 동안 부피가 줄어들 수는 없으므로 틀립니다. (C)는 평평해지지 않고 계속 올라가기만 해서 넘치는 단계가 없으므로 틀립니다. (D)는 처음부터 일정한 양의 부피에서 수평이므로 t = 0에 이미 가득 차 있다는 뜻이 되어 틀립니다. (E)는 올라갔다가 내려오는데, 그러려면 모이통이 저절로 비워져야 하지만 배수구만으로는 유입을 따라잡지 못하므로 틀립니다. 원점에서 출발해 일정한 양의 기울기로 올라간 뒤 평평해지는 것은 (A) 뿐 — 이야기의 두 단계 모두와 일치합니다.
💡핵심 정리

이야기를 두 단계로 나눠 봐요 — 채우는 동안은 일정한 양의 변화율이라 직선이 올라가고, 가득 찬 뒤에는 부피가 용량에 묶여 수평. 그 두 조각 모양은 (A) 뿐입니다.

  • 순수 증가 속도 구하기
  • 속도를 그래프로 옮기기
  • 넘칠 때 모양 살피기
  • 두 구간 이어 붙이기

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