AMC 8 · 2002 · #6

학년 6 rate-ratio

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

rategraph-readingpattern-recognition pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: rate

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

물이 분당 20 ml 로 새 모이통에 들어오고, 분당 18 ml 로 배수됩니다. 모이통이 가득 차면 넘치는 물은 가장자리로 흘러나갑니다. 시간(가로)-부피(세로) 그래프 다섯 개 (A)~(E) 중에서, 채워지기 시작해 넘치는 단계까지 들어간 이 모이통의 모습을 옳게 나타낸 그래프를 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이야기는 두 단계로 또렷이 나뉩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 1단계(가득 차기 전, 채워지는 동안)와 2단계(가득 찬 뒤, 넘치는 동안)를 분리합시다. 각 단계에서 순 변화율은 일정한 상수이므로 각각의 그래프는 직선이고, 모이통이 가득 찬 순간에 기울기가 바뀝니다. 도구 #1(그림 그리기)로 "원점에서 출발해 양의 기울기로 올라가는 선분 + 그 뒤로 이어지는 수평 선분" 이라는 두 조각 모양을 그려 두고 다섯 개 선택지와 맞춰봅니다.

1STEP 1

채우는 동안: 유입 20 ml/분에서 배수 18 ml/분을 빼면 순 증가율은 2 ml/분.

순 변화율 = 20 - 18 = 2 ml/분

2STEP 2

일정한 분당 2 ml 증가는 매 분 같은 양을 더하므로, 그래프는 원점에서 시작하는 양의 기울기 직선.

V(t) = 2t (0 ≤ t ≤ t_가득)

3STEP 3

넘치는 동안: 가득 차면 남는 분당 2 ml는 가장자리로 넘쳐, 안쪽 부피는 용량 그대로 고정.

V(t) = V_max (t ≥ t_가득)

4STEP 4

두 단계를 이으면 올라가는 선 뒤 평평한 꼭대기 — 양의 기울기 뒤 수평선은 그래프 A뿐.

모양 = ↗ 그리고 → → (A)

정답

두 조각 모양으로 나머지 선택지를 빠르게 걸러 봅시다. (B) 는 처음에 평평했다가 (부피가 아직 늘지도 않은 상태) 내려가는데, 유입이 배수보다 많은 동안 부피가 줄어들 수는 없으므로 틀립니다. (C) 는 평평해지지 않고 계속 올라가기만 해서 넘치는 단계가 없으므로 틀립니다. (D) 는 처음부터 일정한 양의 부피에서 수평이므로 t = 0 에 이미 가득 차 있다는 뜻이 되어 틀립니다. (E) 는 올라갔다가 내려오는데, 그러려면 모이통이 저절로 비워져야 하지만 배수구만으로는 유입을 따라잡지 못하므로 틀립니다. 원점에서 출발해 일정한 양의 기울기로 올라간 뒤 평평해지는 것은 (A) 뿐 — 이야기의 두 단계 모두와 일치합니다.

💡핵심 정리

이야기를 두 단계로 나눠 봐요 — 채우는 동안은 일정한 양의 변화율이라 직선이 올라가고, 가득 찬 뒤에는 부피가 용량에 묶여 수평. 그 두 조각 모양은 (A) 뿐입니다.

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