경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2006 · #22
학년 6 arithmetic
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AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
피라미드 규칙은 세 개의 아랫줄 수를 꼭대기 하나로 묶지만, 그 관계가 한눈에 보이지는 않습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)의 방식 그대로, 작은 구체적인 세쌍을 직접 대입해 피라미드를 끝까지 채워 보면 꼭대기 칸이 A, B, C 의 식으로 어떻게 표현되는지 드러납니다. 그 한 번의 실험에서 "가운데 칸이 두 번 셈해진다" 는 사실이 보이고, 꼭대기는 A + 2B + C 가 됩니다. 식이 손에 들어오면 도구 #6(추측하고 확인하기)로 아랫줄 숫자를 영리하게 고릅니다 — 최대값은 가장 큰 한 자리 수 9를 가운데에 두고 그 다음 큰 두 수 8, 7을 양 끝에, 최소값은 같은 논리로 1, 2, 3을 둡니다.
아래 줄에 수 넣어 보기
구체적인 아랫줄 하나: A = 1, B = 2, C = 3을 위로 채우면 꼭대기는 8.
작게 시작하기. 구체적인 피라미드 한 번이면 규칙이 어떻게 작동하는지 식 없이도 보입니다.
5.OA.A.1Solve An Easier Related Problem맨 위 칸 식으로 쓰기
꼭대기를 아랫줄의 합으로 읽으면 꼭대기 = A + 2B + C — 가운데 B 가 두 번 셈해집니다.
가운데 칸 B 는 두 번째 줄 양쪽 모두에 들어가므로 두 번 셈해지고, 양 끝의 A, C 는 한 번씩만 들어갑니다.
둘째 줄의 두 칸 A+B와 B+C를 더하면 A + 2B + C가 되므로, 아래 줄 가운데 숫자 B는 두 번 세어지고 양 끝 숫자는 각각 한 번씩만 세어진다.
▸ 왜?
(A+B) + (B+C)는 A + (B+B) + C로 순서를 바꾸고 다시 묶을 수 있는데, 더하는 항의 순서를 바꾸거나 묶는 방식을 바꿔도 합은 변하지 않기 때문이다.
▸ 왜?
더하는 항의 순서를 바꿔도 합은 변하지 않으므로, 두 개의 B를 서로 옆으로 옮길 수 있다.
▸ 왜?
어느 항을 먼저 묶어 더하든 합은 변하지 않으므로, B+B를 하나의 묶음으로 모을 수 있다.
▸ 왜?
모아 놓은 B + B는 같은 양을 두 번 더한 것이며, 이는 B가 든 같은 묶음 두 개, 곧 2B와 같다.
맨 위 칸 최대로 만들기
최대는 두 배로 세는 가운데에 가장 큰 수를: B = 9, 양 끝 8, 7이면 꼭대기 33.
B = 8, 양 끝에 9, 7로 바꿔 보면 32 밖에 안 나옵니다. 가운데에 가장 큰 수가 오는 게 맞습니다.
6.EE.A.2Guess And Check맨 위 칸 최소로 만들기
최소는 가운데에 가장 작은 수를: B = 1, 양 끝 2, 3이면 꼭대기 7.
B = 2, 양 끝에 1, 3으로 바꿔 보면 1 + 4 + 3 = 8로 더 커집니다. 가운데에는 가장 작은 수가 오는 게 맞습니다.
6.EE.A.2Guess And Check빼서 차 구하기
두 끝값을 빼면 묻는 차가 나옵니다: 33 - 7 = 26.
두 끝값을 알면 최대 빼기 최소는 단순한 뺄셈입니다.
4.NBT.B.4Guess And Check작은 피라미드 하나만 손으로 채워 봐도 규칙이 보입니다 — 꼭대기는 A + 2B + C 이고, 가운데 자리가 두 번 셈해져요. 최대값은 가운데에 9, 최소값은 가운데에 1, 그래서 차는 33 - 7 = 26입니다.
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- 맨 위 칸 식으로 쓰기
- 맨 위 칸 최대로 만들기
- 맨 위 칸 최소로 만들기
- 빼서 차 구하기
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