경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2003 · #16

학년 4 counting
유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Vertex or Element Role
permutations-basiccombinations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticsystematic-enumeration
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
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문제
앨리, 보니, 카를로, 디애나가 차의 네 자리, 즉 운전석 1 개, 조수석 1 개, 뒷좌석 2 개에 나누어 앉습니다. 운전석은 보니와 카를로만 앉을 수 있어요. 가능한 자리 배치의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
4
(C)
6
(D)
12
(E)
24

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

운전석 한 자리에만 특별한 제한이 있고 나머지 세 자리는 제한이 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 방식대로, 제한이 있는 자리를 먼저 처리하고 나머지를 별개의 더 쉬운 문제로 다루면 됩니다. 운전자가 정해지고 나면 남은 자리는 "세 사람을 세 개의 구별되는 자리에 배치" 하는 문제가 되고, 도구 #13(똑똑하게 세기)의 곱의 법칙으로 마무리됩니다. 각 단계의 선택지 수를 곱하면 됩니다. 가장 제한이 강한 자리를 먼저 채우는 것이 중복 셈을 막는 정석 전략입니다.

1STEP 1

운전자 경우의 수 세기

작은 문제 1 — 운전석: 보니 또는 카를로만 운전할 수 있어 선택지는 정확히 2 가지.

#운전자 = 2 (보니 또는 카를로)
2STEP 2

앞자리 경우의 수 세기

작은 문제 2 — 조수석: 남은 3 명 중 누구나 앉을 수 있어 3 가지.

#조수석 = 3
3STEP 3

뒷자리 왼쪽 경우의 수 세기

작은 문제 3 — 뒷좌석 왼쪽: 남은 2 명 중 아무나 앉을 수 있어 2 가지.

#뒷좌석 왼쪽 = 2
4STEP 4

뒷자리 오른쪽 경우의 수 세기

작은 문제 4 — 뒷좌석 오른쪽: 마지막 1 명만 남아 자동으로 정해져 1 가지.

#뒷좌석 오른쪽 = 1
5STEP 5

네 경우의 수 곱하기

종합 — 네 선택이 서로 독립이므로 선택지를 곱하면 2 × 3 × 2 × 1 = 12 → (D).

2 × 3 × 2 × 1 = 12 → (D)
정답
12
운전 제한이 없다면 네 사람이 네 자리에 앉는 경우는 4 × 3 × 2 × 1 = 24 가지로 선택지 (E)가 됩니다. 운전석의 선택지가 4 에서 2로 줄었으니 전체 가짓수도 정확히 반인 24 ÷ 2 = 12가 됩니다. 답 12는 (D)와 일치합니다. 또한 12는 제한 없는 경우 (24)와 더 작은 선택지들 (2, 4, 6) 사이에 있어서 "제한이 한 개" 라는 상황과도 잘 맞습니다.
💡핵심 정리

가장 까다로운 자리를 먼저 채우고 남은 선택지를 곱하면 끝 — 4학년 곱의 법칙만으로 이 AMC 8 문제는 2 × 3 × 2 × 1 = 12로 정리됩니다.

  • 운전자 경우의 수 세기
  • 앞자리 경우의 수 세기
  • 뒷자리 왼쪽 경우의 수 세기
  • 뒷자리 오른쪽 경우의 수 세기
  • 네 경우의 수 곱하기

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