AMC 8 · 2003 · #19

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

lcmmultiplesprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-factorizationmultiplesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

1000 과 2000 사이에 있는 정수 중 15, 20, 25 세 수 모두로 나누어떨어지는 정수의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 가지 나누어떨어짐 조건이 한꺼번에 주어져 복잡해 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 둘로 나눌 수 있어요. 먼저 lcm(15, 20, 25) 를 구해 세 조건을 한 조건으로 합치고, 그다음 그 최소공배수의 배수 중 열린 구간 (1000, 2000) 안에 들어가는 개수를 셉니다. LCM 이 나오면 후보가 몇 개 안 되니 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 직접 적어 보는 편이 식보다 빠르고 안전해요.

1STEP 1

작은 문제 1: 15, 20, 25 로 모두 나누어떨어지는 수는 lcm(15, 20, 25) 의 배수 — 세 조건이 하나로.

15 ∣ N 그리고 20 ∣ N 그리고 25 ∣ N ⟺ lcm(15, 20, 25) ∣ N

2STEP 2

소인수분해 후 각 소수의 가장 높은 거듭제곱을 곱하면 2² · 3 · 5² = 300.

15 = 3 · 5, 20 = 2² · 5, 25 = 5² → lcm = 2² · 3 · 5² = 4 · 3 · 25 = 300

3STEP 3

작은 문제 2: (1000, 2000) 안에 있는 300 의 배수는 1200, 1500, 1800.

300 · 4 = 1200, 300 · 5 = 1500, 300 · 6 = 1800, 300 · 7 = 2100

4STEP 4

구간 안의 정수는 3 개이므로 답은 (C).

{1200, 1500, 1800} → 3 개 → (C)

정답

나열한 수들이 정말로 15, 20, 25 로 나누어떨어지는지 확인해 봅시다. 1200 = 15 · 80 = 20 · 60 = 25 · 48, 1500 = 15 · 100 = 20 · 75 = 25 · 60, 1800 = 15 · 120 = 20 · 90 = 25 · 72. 세 수 모두 통과합니다. 경계 부근의 900 과 2100 은 (1000, 2000) 밖이므로 제외되는 것이 맞고, 따라서 답은 세 개, 선택지 (C) 입니다.

💡핵심 정리

여러 나누어떨어짐 규칙이 한꺼번에 주어지면 사실은 LCM 규칙 하나로 합쳐져요. LCM 을 구한 뒤 범위 안 배수를 나열해 세면 끝납니다.

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