경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2003 · #19
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 가지 나누어떨어짐 조건이 한꺼번에 주어져 복잡해 보이지만, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 깔끔하게 둘로 나눌 수 있어요. 먼저 lcm(15, 20, 25)를 구해 세 조건을 한 조건으로 합치고, 그다음 그 최소공배수의 배수 중 열린 구간 (1000, 2000) 안에 들어가는 개수를 셉니다. LCM 이 나오면 후보가 몇 개 안 되니 도구 #2(체계적으로 나열하기)로 직접 적어 보는 편이 식보다 빠르고 안전해요.
세 조건 하나로 합치기
작은 문제 1: 15, 20, 25로 모두 나누어떨어지는 수는 lcm(15, 20, 25) 의 배수 — 세 조건이 하나로.
하나의 LCM 조건이 세 가지 나누어떨어짐 체크를 대신합니다. 이것이 6학년 "최소공배수" 개념의 핵심이에요.
어떤 정수가 15, 20, 25로 동시에 나누어떨어지는 것은 그 세 수의 최소공배수의 배수인 것과 정확히 같다.
▸ 왜?
15로도, 20으로도, 25로도 나누어떨어진다는 것은 그 수가 15의 묶음, 20의 묶음, 25의 묶음으로 각각 딱 맞게 채워진다는 뜻이다. 그래서 세 배수 목록에 동시에 나타나며, 이것이 바로 15, 20, 25의 공배수라는 뜻이다.
▸ 왜?
세 배수 목록에 동시에 놓이는 수들은 그 세 목록이 처음으로 함께 맞아떨어지는 하나의 수, 곧 최소공배수의 배수들과 정확히 같다. 그 첫 만남 이후로 세 목록은 그 크기만큼의 걸음마다 계속 다시 만난다.
최소공배수 구하기
소인수분해 후 각 소수의 가장 높은 거듭제곱을 곱하면 2² · 3 · 5² = 300.
2의 가장 높은 거듭제곱은 2² (20 에서), 3은 3¹ (15 에서), 5는 5² (25 에서). 곱하면 4 · 3 · 25 = 300.
6.NS.B.4Identify Subproblems범위 안 배수 나열하기
작은 문제 2: (1000, 2000) 안에 있는 300의 배수는 1200, 1500, 1800.
300 · 3 = 900은 범위 아래, 300 · 7 = 2100은 범위 위. 1000과 2000 사이의 값만 해당됩니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List배수 개수 세기
구간 안의 정수는 3 개이므로 답은 (C).
짧은 나열만으로 답이 한눈에 보입니다 — 세 개가 들어갑니다.
4.OA.A.3Make A Systematic List여러 나누어떨어짐 규칙이 한꺼번에 주어지면 사실은 LCM 규칙 하나로 합쳐져요. LCM 을 구한 뒤 범위 안 배수를 나열해 세면 끝납니다.
- 세 조건 하나로 합치기
- 최소공배수 구하기
- 범위 안 배수 나열하기
- 배수 개수 세기
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