AMC 8 · 2004 · #19

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

lcmmodular-arithmeticdivisibility-rulesmultiples identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

3, 4, 5, 6 으로 각각 나누었을 때 나머지가 모두 2 가 되는, 2 보다 큰 가장 작은 자연수 N 을 찾고, 그 N 이 보기 중 어느 구간에 들어가는지 고르세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$40 \text{and} 49$

(B)

$60 \text{ and } 79$

(C)

$100 \text{and} 129$

(D)

$210 \text{and} 249$

(E)

$320 \text{and} 369$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

네 개의 나머지 조건이 따로따로 있는 것 같지만, 도구 #5(패턴 찾기) 로 보면 모두 같은 형태입니다 — N - 2 가 3 의 배수, 4 의 배수, 5 의 배수, 6 의 배수라는 뜻이죠. 이렇게 다시 쓰면 네 조건이 하나로 묶입니다: N - 2 는 {3, 4, 5, 6} 의 공배수. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 작업이 깔끔하게 두 단계로 나뉩니다 — 먼저 가장 작은 공배수(네 수의 LCM) 를 구하고, 마지막에 +2 만 더해 N 을 복원하면 끝.

1STEP 1

공통 패턴: 모든 나눗셈에서 나머지가 2 라는 건 N - 2 가 3, 4, 5, 6 각각의 배수라는 뜻.

N - 2 는 3, 4, 5, 6 의 배수

2STEP 2

작은 문제 1: N - 2 는 {3, 4, 5, 6} 의 공배수이니, 가장 작은 양의 값은 네 수의 LCM.

N - 2 = lcm(3, 4, 5, 6)

3STEP 3

소인수분해로 LCM 계산: 각 소수의 최고 차수는 2², 3, 5 → lcm(3, 4, 5, 6) = 60.

3 = 3, 4 = 2², 5 = 5, 6 = 2 · 3 → lcm = 2² · 3 · 5 = 60

4STEP 4

작은 문제 2: 다시 +2 → N = 60 + 2 = 62, N ＞ 2 만족.

N = 60 + 2 = 62 → 60 ＜ 62 ＜ 79 → (B)

정답

60 and 79

나머지를 직접 확인합니다: 62 = 3 · 20 + 2, 62 = 4 · 15 + 2, 62 = 5 · 12 + 2, 62 = 6 · 10 + 2. 네 경우 모두 나머지 2, 그리고 62 ＞ 2. 다음 조건 만족 수는 60 + 60 + 2 = 122 로 선택지 (C) 구간에 들어가므로 62 가 정말 가장 작은 값입니다. (A) 40-49 는 LCM 보다 작아 불가능, (D)·(E) 는 너무 큽니다.

💡핵심 정리

여러 나눗셈에서 같은 나머지가 나오면, 그 나머지를 먼저 빼고 보세요 — 남는 건 그냥 LCM 문제이고, 마지막에 나머지를 다시 더하면 답이 됩니다.

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