경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2004 · #19
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
네 개의 나머지 조건이 따로따로 있는 것 같지만, 도구 #5(패턴 찾기)로 보면 모두 같은 형태입니다 — N - 2가 3의 배수, 4의 배수, 5의 배수, 6의 배수라는 뜻이죠. 이렇게 다시 쓰면 네 조건이 하나로 묶입니다: N - 2는 {3, 4, 5, 6}의 공배수. 그러면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 작업이 깔끔하게 두 단계로 나뉩니다 — 먼저 가장 작은 공배수(네 수의 LCM)를 구하고, 마지막에 +2만 더해 N 을 복원하면 끝.
공통 규칙 찾기
공통 패턴: 모든 나눗셈에서 나머지가 2 라는 건 N - 2가 3, 4, 5, 6 각각의 배수라는 뜻.
4학년 "배수" 개념 그대로 — 나머지 2는 배수 N - 2를 2 만큼 위로 민 결과입니다.
N을 3, 4, 5, 6 각각으로 나누었을 때 나머지가 2라는 말은, N - 2가 3, 4, 5, 6 각각의 정확한 배수라는 말과 같다.
▸ 왜?
N을 나누는 수 d로 나눈 나머지가 2라는 것은 N을 d짜리 묶음으로 최대한 채우고 정확히 2가 남는다는 뜻이므로, N은 d짜리 묶음 몇 개에 2를 더한 것이다.
▸ 왜?
나머지는 d짜리 묶음을 가능한 만큼 빼낸 뒤에 남는 것이므로, 그 나머지를 뺀 부분은 d의 같은 묶음 정수 개 — 즉 d의 배수다.
▸ 왜?
나눗셈을 N = q · d + 2로 적으면, 남은 2는 0 ≤ 2 ＜ d이므로 올바른 나머지다; 이를 빼면 N - 2 = q · d가 되어 d짜리 묶음으로 나머지 0이 되고, 나머지 0은 바로 N - 2가 d의 배수가 되는 조건이다 — 그리고 이는 네 나누는 수 각각에 똑같이 성립한다.
최소공배수 문제로 바꾸기
작은 문제 1: N - 2는 {3, 4, 5, 6}의 공배수이니, 가장 작은 양의 값은 네 수의 LCM.
도구 #7로 일을 둘로 쪼갭니다 — N - 2부터 정한 뒤 +2는 나중에. 6학년 수론에서 가장 작은 공배수는 LCM 입니다.
6.NS.B.4Identify Subproblems최소공배수 계산하기
소인수분해로 LCM 계산: 각 소수의 최고 차수는 2², 3, 5 → lcm(3, 4, 5, 6) = 60.
2의 가장 높은 차수는 2² (4 에서), 3은 3¹ (3 또는 6 에서), 5는 5¹ (5 에서). 곱하면 4 · 3 · 5 = 60.
6.NS.B.4Identify Subproblems2를 다시 더하기
작은 문제 2: 다시 +2 → N = 60 + 2 = 62, N ＞ 2 만족.
62 ＞ 2 성립, 그리고 62는 선택지 (B)의 60-79 구간 안에 들어갑니다.
4.OA.A.3Identify Subproblems여러 나눗셈에서 같은 나머지가 나오면, 그 나머지를 먼저 빼고 보세요 — 남는 건 그냥 LCM 문제이고, 마지막에 나머지를 다시 더하면 답이 됩니다.
- 공통 규칙 찾기
- 최소공배수 문제로 바꾸기
- 최소공배수 계산하기
- 2를 다시 더하기
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