경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2004 · #21

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparitycomplementary-countingfraction-multiplication complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: probability-basicfraction-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트 📊 도형

문제

스피너 A 는 1, 2, 3, 4가 적힌 똑같은 크기의 네 칸으로, 스피너 B 는 1, 2, 3이 적힌 똑같은 크기의 세 칸으로 나뉘어 있습니다. 두 스피너를 한 번씩 돌렸을 때, 두 수의 곱이 짝수가 될 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac14$

(B)

$\frac13$

(C)

$\frac12$

(D)

$\frac23$

(E)

$\frac34$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 (여집합으로 세기)

"곱이 짝수" 인 경우는 짝×짝, 짝×홀, 홀×짝 으로 세 가지지만, 여집합인 "곱이 홀수" 는 두 스피너 모두 홀수일 때 하나뿐입니다. 도구 #16(관점 바꾸기 / 여집합으로 세기)을 쓰면 복잡한 사건을 깔끔한 사건으로 바꾸고, 그 확률을 구한 뒤 1 에서 빼면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 그 여집합을 다시 P(A 홀)과 P(B 홀) 이라는 두 개의 작은 문제로 나누고, 독립이므로 곱해 줍니다.

1STEP 1

여사건으로 바꾸기

곱은 두 스핀이 모두 홀수라야 홀수, P(짝수) = 1 - P(둘 다 홀). 세 경우가 한 경우로 줄죠.

P(곱이 짝수) = 1 - P(A 홀 이고 B 홀)

2STEP 2

A 회전판 홀수 확률 구하기

스피너 A: 네 칸 중 홀수는 1, 3 두 개라 P(A 홀) = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2}$ .

P(A 홀) = 2/4 = 1/2

3STEP 3

B 회전판 홀수 확률 구하기

스피너 B: 세 칸 중 홀수는 1, 3 두 개라 P(B 홀) = $\frac{2}{3}$ .

P(B 홀) = 2/3

4STEP 4

곱한 뒤 1에서 빼기

독립이라 P(둘 다 홀) = $\frac{1}{2}$ × $\frac{2}{3}$ = $\frac{1}{3}$ , 짝수 곱은 나머지 1 - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$ → (D).

P(둘 다 홀) = 1/2 × 2/3 = 1/3 → P(곱이 짝수) = 1 - 1/3 = 2/3 → (D)

정답

2/3

4 × 3 = 12 가지 결과를 전부 적어 확인해 봅시다. 행별 곱은 A=1 → 1,2,3; A=2 → 2,4,6; A=3 → 3,6,9; A=4 → 4,8,12. 행별 짝수 개수는 1 + 3 + 1 + 3 = 8. 확률 =

\frac{8}{12}

\frac{2}{3}

, 답 (D)와 일치합니다. 직관적으로도 스피너 A 가 절반은 짝수인데 그것만으로 곱이 짝수가 보장되므로 답은 최소

\frac{1}{2}

이상이어야 하고,

\frac{2}{3}

은 그 위라 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

짝수 곱은 경우가 여러 가지지만 홀수 곱은 "두 스피너 모두 홀수" 한 가지뿐 — 그 쉬운 경우의 확률 $\frac{1}{3}$ 만 구해서 1 에서 빼면 $\frac{2}{3}$ 입니다.

여사건으로 바꾸기
A 회전판 홀수 확률 구하기
B 회전판 홀수 확률 구하기
곱한 뒤 1에서 빼기

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여사건으로 바꾸기

A 회전판 홀수 확률 구하기

B 회전판 홀수 확률 구하기

곱한 뒤 1에서 빼기

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