경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #7

학년 7 probability
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
probability-basicparitysystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticparity
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문제
1, 2, 3이 적힌 칩 세 장이 들어 있는 상자가 두 개 있습니다. 각 상자에서 칩을 무작위로 한 장씩 뽑아 두 수를 곱합니다. 그 곱이 짝수일 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{9}$
(B)
$\frac{2}{9}$
(C)
$\frac{4}{9}$
(D)
$\frac{1}{2}$
(E)
$\frac{5}{9}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

전체 경우가 3 × 3 = 9 가지뿐이라 모든 순서쌍을 직접 적을 수 있는 크기 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. "곱이 짝수" 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기)의 전형적 트리거입니다 — 짝수 경우는 여러 가지지만 "곱이 홀수" 이려면 두 수 모두 홀수여야 해서 2 × 2 = 4 가지뿐이거든요. 다섯 경우를 더하는 대신 1 - 4/9로 끝냅니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 검산용 — 다섯 선택지 중 9 분의 수로 표현 가능한 답은 하나뿐입니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

곱셈 원리로 셉니다 — 1번·2번 상자 각 3가지씩이라 같은 확률의 순서쌍 (a, b)는 3 × 3 = 9개입니다.

3 × 3 = 9 가지
2STEP 2

곱의 홀짝 규칙 세우기

홀짝 규칙: a × b 는 둘 다 홀수일 때만 홀수 — 그래서 더 간단한 여집합(두 수 모두 홀수)을 세기로 합니다.

a × b 가 홀수 ⇔ a 가 홀수 AND b 가 홀수
3STEP 3

곱이 홀수인 경우 세기

각 상자의 홀수 칩은 {1, 3} — 홀수 곱 순서쌍은 2 × 2 = 4개: (1,1), (1,3), (3,1), (3,3).

2 × 2 = 4 가지 (홀수 곱)
4STEP 4

빼서 짝수 경우 구하기

전체에서 빼면 9 - 4 = 5가지가 짝수 곱 — (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2).

9 - 4 = 5 가지 (짝수 곱)
5STEP 5

확률로 나타내기

확률 = 유리한 경우 ÷ 전체 = 59\frac{5}{9} — 선택지 (E)와 일치합니다.

P(곱이 짝수) = 5/9 → (E)
정답
5/9
답의 크기를 검산합니다. 어느 상자에서든 2가 뽑히는 순간 곱은 강제로 짝수가 되는데, 그 경우만 해도 꽤 많습니다. 1번 상자에서 2가 나올 확률은 13\frac{1}{3}, 2번 상자에서도 13\frac{1}{3} 이므로 P(적어도 한 번 2) = 1 - 23\frac{2}{3} · 23\frac{2}{3} = 1 - 49\frac{4}{9} = 59\frac{5}{9}. 같은 답 59\frac{5}{9} 가 독립적으로 확인되며, 더 작은 (A) 19\frac{1}{9}, (B) 29\frac{2}{9}, (C) 49\frac{4}{9} 와 대칭적으로 그럴듯해 보이는 (D) 12\frac{1}{2} 는 모두 배제됩니다.
💡핵심 정리

"곱이 짝수" 라는 문제가 나오면 거꾸로 "곱이 홀수" 인 경우를 세 보세요 — 두 수 모두 홀수인 한 경우만 따지면 됩니다.

  • 전체 경우의 수 세기
  • 곱의 홀짝 규칙 세우기
  • 곱이 홀수인 경우 세기
  • 빼서 짝수 경우 구하기
  • 확률로 나타내기

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