AMC 8 · 2004 · #22

학년 7 probability

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Percent / Fraction Recovery

ratio-proportionprobability-basicfraction-arithmeticlinear-equations-one-var convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportionfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

파티에 있는 사람은 미혼 여성, 그리고 부인과 함께 온 기혼 남성뿐입니다. 여성 한 명을 무작위로 뽑았을 때 그 사람이 미혼일 확률이

\frac{2}{5}

입니다. 방 안 전체 사람 중 기혼 남성의 비율은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac13$

(B)

$\frac38$

(C)

$\frac25$

(D)

$\frac{5}{12}$

(E)

$\frac35$

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

문제는 실제 인원수를 모두 숨기고 비율만 던져 줍니다. 그래서 첫 수는 도구 #4(변수 도입하기) — 세 그룹에 이름을 붙여 말을 식으로 바꾸는 거예요. 두 개의 관계가 바로 따라 나옵니다. "기혼 남성은 부인과 함께 온다"는 M = W 를 주고, 확률 $\frac{2}{5}$ 는 $\frac{S}{S+W}$ = $\frac{2}{5}$ 를 줍니다. 식 두 개에 미지수 세 개니까 한 문자로 모두 표현해 답 비율을 읽어내면 됩니다. 도구 #9(간단한 경우 시도하기)는 자연스러운 대체 — $\frac{2}{5}$ 에 맞는 구체적 인원수를 골라 그냥 세어 봐도 같은 답이 나옵니다.

1STEP 1

세 그룹에 문자를 붙입니다: 미혼 여성 S, 부인 W, 기혼 남성 M — 이 셋이 방 안 전원입니다.

전체 인원 = S + W + M

2STEP 2

기혼 남성은 모두 부인을 데려왔고 부인마다 남편이 있으니 일대일로 짝지어져 M = W.

M = W

3STEP 3

무작위 여성이 미혼일 확률은 $\frac{S}{S+W}$ = $\frac{2}{5}$ . 교차곱하면 3S = 2W.

\frac{S}{S + W}

\frac{2}{5}

→ 5S = 2(S+W) → 3S = 2W

4STEP 4

모두 M 으로 통일: M = W 와 3S = 2W 에서 대입하면 S = $\frac{2}{3}$ M (그리고 W = M).

W = M, S =

\frac{2}{3}

5STEP 5

기혼 남성 비율 $\frac{M}{S+W+M}$ = $\frac{M}{\frac{8}{3}M}$ = $\frac{3}{8}$ . M 이 약분되어 답 (B).

\frac{M}{\frac{2}{3}M + M + M}

\frac{M}{\frac{8}{3}M}

\frac{3}{8}

→ (B)

정답

\frac{3}{8}

구체적인 숫자를 대입해 봅시다. M = 3 으로 두면 부인도 W = 3, 미혼 여성은 S = 2. 그러면 여성 5 명 중 미혼은 2 명, 정확히

\frac{2}{5}

확률을 만족합니다. 전체 = 2 + 3 + 3 = 8, 그중 기혼 남성은 3 명이니 비율은

\frac{3}{8}

. 답 (B) 와 일치합니다. 직관 점검: 여성의 절반 가까이가 기혼이고, 기혼 여성마다 남편이 따라오니 기혼 남성은 방의 꽤 큰 몫이 됩니다 — 절반에 살짝 못 미치는

\frac{3}{8}

은 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

기혼 남성은 부인과 일대일로 짝지어지니까 남편 수 = 부인 수예요. 거기에 $\frac{2}{5}$ 확률만 얹으면 답 $\frac{3}{8}$ 이 그대로 떨어지죠 — 실제 인원수는 처음부터 필요 없었어요.

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