AMC 8 · 2005 · #22

학년 7 rate-ratio

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Multiplicative Rate or Series

percentageratio-proportionratefraction-arithmetic identify-subproblemsratio-proportion ↑ 선수 지식: percentageratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어떤 세제가 소(S), 중(M), 대(L) 세 가지 크기로 팔립니다. 중은 소보다 가격이 50% 비싸고 용량은 대보다 20% 적습니다. 대는 소의 두 배 용량이고 가격은 중보다 30% 비쌉니다. 세 크기를 "가장 이득인 것"부터 "가장 손해인 것" 순으로 나열하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

SML

(B)

LMS

(C)

MSL

(D)

LSM

(E)

MLS

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 간단한 경우로 바꿔 보기 (WLOG)

문제는 "순서"만 묻습니다. 그러니까 실제 가격이나 실제 용량은 중요하지 않고, 비율만 의미가 있어요. 도구 #9(간단한 경우로 바꿔 보기)를 쓰면 작은 박스의 가격과 용량을 편한 숫자로 잡고, 퍼센트 규칙으로 나머지 두 박스를 만들 수 있습니다. 도구 #4(변수 도입하기)도 이걸 뒷받침해요. 소박스를 c 달러, s 온스로 두면 다른 모든 값은 c 또는 s 의 정해진 배수가 되니까요. c = 1, s = 5 온스로 잡으면 계산이 가장 깔끔합니다.

1STEP 1

소박스에 편한 숫자를 줍니다 — 가격 1, 용량 5 oz; 어떤 기준값이든 순위는 같습니다.

가격(S) = 1, 용량(S) = 5 oz

2STEP 2

대는 소의 두 배 용량이라 용량(L) = 10 oz; 가격은 나중에 중박스를 거쳐 정합니다.

용량(L) = 2 · 5 = 10 oz

3STEP 3

중박스: 가격은 50% 더(· 1.5 = 1.50), 용량은 대보다 20% 덜(· 0.8 = 8 oz).

가격(M) = 1.5 · 1 = 1.50, 용량(M) = 0.8 · 10 = 8 oz

4STEP 4

대는 중보다 30% 비싸므로 1.3 · 1.50 = 1.95.

가격(L) = 1.3 · 1.50 = 1.95

5STEP 5

단가 = 온스당 가격: S = 0.200, M = 0.1875, L = 0.195 — 작을수록 이득.

1/(5 oz) = 0.200/oz, 1.50/(8 oz) = 0.1875/oz, 1.95/(10 oz) = 0.195/oz

6STEP 6

단가를 작은 값부터 나열: M ＜ L ＜ S, 따라서 가장 이득부터의 순서는 (E).

0.1875 ＜ 0.195 ＜ 0.200 → M ＜ L ＜ S → (E) MLS

정답

MLS

다른 기준값으로도 같은 순위가 나오는지 확인해 봅시다. 소를 2, 10 온스로 잡으면 대는 20 온스, 가격은 1.3 · (1.5 · 2) = 3.90, 중은 가격 3.00, 용량 0.8 · 20 = 16 온스. 단가는 S = 0.200, M =

\frac{3.00}{16}

= 0.1875, L =

\frac{3.90}{20}

= 0.195. 순서는 똑같이 M ＜ L ＜ S. 또 소→중에서 가격은 50% 늘었지만 용량은 60% (5 → 8 온스) 늘었으니, M이 가장 싸다는 결론도 직관적으로 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

"어떤 게 가장 이득일까?" 라는 질문에서는 결국 온스당 가격만 보면 됩니다 — 소박스를 편한 숫자로 잡고 퍼센트를 따라 중·대박스를 만든 뒤 나눠 보세요.

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