AMC 8 · 2016 · #16

학년 7 rate-ratioalgebra

유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up

rateratio-proportionpercentagelinear-equations-one-var convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: ratio-proportionpercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

애니와 보니가 400 미터 타원형 트랙에서 동시에 출발합니다. 애니는 보니보다 25% 더 빠르게 달립니다. 애니가 보니를 처음으로 "한 바퀴 차이로" 추월하는 순간, 애니는 몇 바퀴를 달렸을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1\dfrac{1}{4}$

(B)

$3\dfrac{1}{3}$

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

핵심 패턴은 "두 사람이 같은 시간 동안 달리면 거리의 비 = 속력의 비" 라는 비율 규칙(도구 #11, 패턴 찾기)입니다. "25% 더 빠르다" 를 깔끔한 비율 5:4 로 바꾸면 이 패턴이 곧바로 보입니다. 도구 #4(문자로 나타내기)로 보니의 바퀴 수를 L_B, 애니의 바퀴 수를 L_A 라 두면 추월 조건이 L_A = L_B + 1 이라는 식이 됩니다. 도구 #13(동치 문제로 바꾸기)은 문제를 다시 보게 해 줍니다 — 400 m 라는 트랙 길이는 계산에 전혀 들어오지 않고, "처음 추월" 은 "두 사람의 거리 차이가 정확히 1 바퀴" 와 동치입니다. 미터 대신 바퀴 수로 다루면 트랙 길이는 통째로 약분돼 사라집니다.

1STEP 1

"25% 더 빠르다"는 애니 속력이 보니의 $\frac{5}{4}$ , 즉 속력 비 5 : 4.

\frac{v_A}{v_B}

= 1.25 =

\frac{5}{4}

2STEP 2

같은 시간이면 바퀴 수의 비도 속력 비와 같아 $\frac{L_A}{L_B}$ = $\frac{5}{4}$ .

\frac{L_A}{L_B}

\frac{v_A}{v_B}

\frac{5}{4}

3STEP 3

원형 트랙에서 "처음 추월"은 한 바퀴 더 달렸다는 뜻: L_A = L_B + 1.

L_A = L_B + 1

4STEP 4

비율을 L_A = L_B + 1에 대입해 풀면 L_B = 4.

\frac{5}{4}

L_B = L_B + 1 →

\frac{1}{4}

L_B = 1 → L_B = 4

5STEP 5

애니는 한 바퀴 더: L_A = 4 + 1 = 5 → (D).

L_A = L_B + 1 = 4 + 1 = 5 → (D)

정답

보니가 한 바퀴를 돌 때마다 애니는

\frac{5}{4}

바퀴를 도니, 보니가 한 바퀴 늘 때마다 격차가

\frac{1}{4}

바퀴씩 벌어집니다. 격차가 정확히 1 바퀴가 되려면 보니는 4 바퀴, 애니는 5 바퀴를 달려야 합니다. 모두 작은 정수이고 선택지와 일관되며, (D) = 5 와 정확히 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 대수 — 속력 비율과 한 번 푸는 일차방정식 — 만 알면 풀 수 있어요!

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