AMC 8 · 2004 · #8
학년 6 counting digit-sumdigit-constraintssystematic-enumerationplace-value systematic-enumeration ↑ 선수 지식: place-valuemulti-digit-arithmetic
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
두 자리 양의 정수 중 각 자리 숫자의 합이 7 인 것은 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
(A)
6
(B)
7
(C)
8
(D)
9
(E)
10
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이 과정
전략 체계적으로 나열하기
구해야 하는 것은 개수이고, 탐색할 범위는 작고, 규칙은 단순합니다 (t + u = 7). 도구 #2(체계적으로 나열하기)를 쓰면 십의 자리 t 를 1 부터 7 까지 차례로 올리면서 매번 u = 7 - t 로 정하고, 가능한 수를 모두 적을 수 있어요. 순서대로 올리면 빠뜨리거나 겹치지 않습니다.
1STEP 1
십의 자리를 t, 일의 자리를 u 라 하면 두 자리 수는 t ≥ 1, 조건은 t + u = 7.
t + u = 7, 1 ≤ t ≤ 9, 0 ≤ u ≤ 9
규칙을 먼저 한 줄로 적어두면 t 를 정하는 순간 u 가 자동으로 결정되어 나열이 기계적이 됩니다.
5.OA.B.3Make A Systematic List2STEP 2
u = 7 - t ≥ 0 이라 t ≤ 7, 십의 자리 t 는 1 부터 7 까지.
u = 7 - t ≥ 0 → t ≤ 7, 즉 t ∈ {1,2,3,4,5,6,7}
t 를 먼저 가두면 무한 탐색이 일곱 가지 경우의 체크리스트로 바뀝니다.
6.EE.B.5Make A Systematic List3STEP 3
t 를 순서대로 올리면 수가 하나씩: 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70.
t = 1 → 16, t = 2 → 25, t = 3 → 34, t = 4 → 43, t = 5 → 52, t = 6 → 61, t = 7 → 70
순서대로 가면 빠뜨리거나 중복될 일이 없고, 자리 합은 항상 7 입니다.
5.OA.B.3Make A Systematic List4STEP 4
목록에 수가 7 개, t 한 값당 하나씩이니 그것이 답이에요.
개수 = 7 → (B)
각 t 가 정확히 수 하나를 만들었고, t 가 7 개였으니 답은 7.
5.OA.B.3Make A Systematic List정답
7
이번에는 일의 자리를 기준으로 다시 세어 봅시다. u = 0 이면 t = 7 (70), u = 1 → t = 6 (61), …, u = 6 → t = 1 (16). u = 7 이면 t = 0 이 되어 두 자리 수가 아니라 제외. 결국 유효한 u 는 0 부터 6 까지 7 가지로 같은 답입니다. 반대 방향에서도 7 이 나오니 신뢰할 만합니다.
💡핵심 정리
자리 합 규칙을 식으로 적고 순서대로 나열하면 모든 두 자리 수를 한 번씩만 잡아낼 수 있어요 — 대수 없이도 5학년 패턴과 6학년 조건 추론만으로 답이 나옵니다.