AMC 8 · 2005 · #11

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagefraction-multiplicationpattern-recognition identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: percentage

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

textdollar 90.00 짜리 코트가 20% 할인 중이고, 이 동네 판매세는 6% 입니다. Jack 은 textdollar 90 에 먼저 6% 세금을 더한 다음 20% 를 깎습니다. Jill 은 textdollar 90 에서 먼저 20% 를 깎은 다음 깎인 가격에 6% 세금을 더합니다. Jack 의 총액에서 Jill 의 총액을 뺀 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$-\textdollar 1.06$

(B)

$-\textdollar 0.53$

(C)

$\textdollar 0$

(D)

$\textdollar 0.53$

(E)

$\textdollar 1.06$

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변하지 않는 양 찾기

두 점원은 같은 시작 가격에 같은 두 인수 (1.06 과 0.80) 를 곱합니다. 바뀐 것은 순서뿐이에요. 도구 #11 (변하지 않는 양 찾기) 이 잡아내는 불변량은 "수를 여러 개 곱할 때 순서를 바꿔도 결과는 같다" 라는 사실 — 곱셈의 교환법칙입니다. 그래서 달러를 계산해 보기 전에 이미 Jack 과 Jill 의 총액은 같다는 것을 알 수 있어요. 도구 #4 (변수 도입하기) 로 두 총액을 90 × 1.06 × 0.80 과 90 × 0.80 × 1.06 으로 적어 두면 같음이 한눈에 보입니다. 계산은 필요 없고, 구조가 답을 결정합니다.

1STEP 1

각 퍼센트 변화를 곱셈 하나로 바꿉니다: 6% 세금 더하기는 × 1.06, 20% 깎기는 × 0.80.

세금 더하기 ≡ × 1.06, 할인 적용 ≡ × 0.80

2STEP 2

Jack 은 textdollar 90 에 1.06 (세금) 그다음 0.80 (할인) 을 곱합니다: 90 × 1.06 × 0.80.

J_Jack = 90 × 1.06 × 0.80

3STEP 3

Jill 은 순서를 바꿔 textdollar 90 에 0.80 (할인) 그다음 1.06 (세금) 을 곱합니다: 90 × 0.80 × 1.06.

J_Jill = 90 × 0.80 × 1.06

4STEP 4

똑같은 세 수이므로 교환법칙에 의해 두 곱은 서로 같고, 차이는 = 0 → (C).

J_Jack - J_Jill = 90 × 1.06 × 0.80 - 90 × 0.80 × 1.06 = 0 → (C)

정답

textdollar 0

실제로 두 총액을 계산해 확인합니다. 90 × 1.06 = 95.40, 그 다음 95.40 × 0.80 = 76.32 이므로 Jack 의 총액은 textdollar 76.32. 90 × 0.80 = 72.00, 그 다음 72.00 × 1.06 = 76.32 이므로 Jill 의 총액도 textdollar 76.32. 차이 textdollar 0, 답 (C) 와 일치합니다. 함정 선택지 ±textdollar 0.53, ±textdollar 1.06 은 "세금을 먼저 붙이면 세금이 할인보다 먼저 자리를 잡아 더 비싸진다" 라는 직관 오류에서 나온 값이지만, 1.06 과 0.80 을 어떤 순서로 곱해도 결과가 같으므로 그런 "먼저" 는 존재하지 않습니다.

💡핵심 정리

두 점원 모두 textdollar 90 에 같은 두 인수 — 세금 1.06 과 할인 0.80 — 을 곱합니다. 곱셈의 교환법칙에 따라 순서는 결과를 바꾸지 못하므로 두 총액은 같고, 차이는 textdollar 0 입니다.

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