경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2005 · #12
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"매일 전날보다 6 개씩 많다" 는 표현은 도구 #5 (패턴 찾기)의 명백한 신호입니다 — 다섯 날의 개수가 6 씩 일정하게 늘어나는 "고른 간격" 의 수열이 되니까요. 게다가 항이 다섯 개로 홀수일 때는 도구 #11 (변하지 않는 것 찾기)가 강한 한 수를 줍니다 — 가운데 항 (5월 3일)이 곧 다섯 항의 평균이 된다는 점이에요. 이 불변량 덕분에 총합 100이 곧장 가운데 날의 양이 되고, 5월 5일은 가운데에서 +6을 두 번 더하면 끝납니다. 도구 #5와 #11의 조합으로 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5–6학년 산수만으로 풀 수 있어요.
다섯 날 나열하기
5월 1일에서 하루마다 6 씩 더해 다섯 수를 만들면, 같은 크기로 오르는 고른 간격 수열이 됩니다.
주어진 규칙으로 수의 패턴을 적어 내려가는 4학년 "규칙에 따른 수열 만들기" 그대로입니다. 일정한 간격 6이 패턴의 전부예요.
4.OA.C.5Look For A Pattern가운데 날 구하기
고른 간격 수열은 항이 홀수면 가운데가 곧 평균, 그래서 5월 3일 = 100 ÷ 5 = 20 개.
고른 간격 수열에서는 가운데보다 위쪽으로 한 칸 올라간 항과 아래쪽으로 한 칸 내려간 항이 짝을 이뤄 상쇄되므로, 가운데 항이 곧 평균이 됩니다 — 6학년 평균의 개념입니다.
가운데 날인 5월 3일은 전체 100개의 바나나를 다섯 날로 똑같이 나눈 몫 — 전체를 5로 나눈 값 — 을 그대로 담고 있다.
▸ 왜?
전체 100은 다섯 날의 개수를 더한 것일 뿐이고, 그 다섯 개수의 합은 정확히 5월 3일 개수의 다섯 배와 같다.
▸ 왜?
다섯 날을 더하면 전체가 되는 것은, 각 날이 두 번 세어지지도 빠지지도 않은 별개의 조각이기 때문이다.
▸ 왜?
5월 3일보다 위인 날은 그 짝인 아래 날이 아래로 떨어진 만큼 위로 떨어져 있어서, 높은 날의 남는 바나나가 낮은 날의 모자란 바나나를 정확히 채워, 다섯 개수가 모두 5월 3일과 같아진다.
▸ 왜?
5월 4일은 5월 3일보다 6 위, 5월 2일은 6 아래이고, 5월 5일은 12 위, 5월 1일은 12 아래인데, 목록이 매일 똑같이 6씩 오르기 때문이다.
▸ 왜?
하루 앞으로 가면 늘 6을 더하고 하루 뒤로 가면 그 6을 다시 빼므로, 위아래로 같은 걸음 수만큼 가면 5월 3일에서 같은 거리만큼 떨어진다.
▸ 왜?
높은 날에서 남는 만큼을 떼어 그 짝인 낮은 날의 모자란 만큼을 채우면 정확히 상쇄되는데, 어떤 양을 더했다가 그 같은 양을 다시 빼면 아무 변화도 없기 때문이다.
▸ 왜?
이제 다섯 날이 각각 5월 3일 하나로 세어지면, 그것은 5월 3일 개수의 같은 묶음 다섯 개, 곧 그 개수의 다섯 배이다.
▸ 왜?
전체가 5월 3일 개수의 다섯 배이므로, 전체를 다섯 등분으로 나누면 그 곱하기를 되돌려 5월 3일 개수 하나를 돌려준다.
5월 5일까지 나아가기
5월 5일은 5월 3일에서 이틀 뒤이니 6을 두 번 더해 20 + 6 + 6 = 32, 선택지 (D).
+6을 두 번 더 더하는 것은 같은 패턴을 가운데에서 끝까지 계속 따라가는 것일 뿐입니다.
5.NBT.B.5Look For A Pattern매일 6 개씩 늘어나는 다섯 날의 양은 고른 간격 수열이고, 가운데 날인 5월 3일은 자동으로 평균 100 ÷ 5 = 20이 됩니다. 거기서 +6을 두 번만 더 따라가면 5월 5일은 32 — 이 "가운데가 곧 평균" 한 가지 아이디어가 AMC 8 문제를 6학년 평균 문제로 줄여 줍니다.
- 다섯 날 나열하기
- 가운데 날 구하기
- 5월 5일까지 나아가기
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