경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2006 · #15
학년 6 rate-ratio답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
속도는 "쪽당 초" 단위이고, 조건은 "두 사람의 총 시간이 같다"입니다. 도구 #8(단위 살펴보기)이 식 세우기를 거의 자동으로 만들어 줍니다: (쪽당 초) × (쪽수) = 초 이므로 시간이 같다는 조건은 30 × (찬드라 쪽수) = 45 × (밥 쪽수). 이 식 자체가 쪽수의 비 3:2를 곧바로 드러내서 복잡한 대수 없이 답이 나옵니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)은 찬드라 쪽수에 x 라는 이름을 붙여 식을 쓰는 데 쓰지만, 마무리는 비례로 가는 게 깔끔합니다.
미지수 이름 붙이기
찬드라 쪽수를 x 라 하면 밥은 나머지 760 - x 쪽을 읽습니다.
모르는 양을 문자 하나로 두는 것은 6학년 "변수로 수를 나타내기" 그대로입니다.
6.EE.B.6Convert To Algebra두 사람 시간 식으로 쓰기
시간이 같으니 (쪽당 초)×(쪽수)가 양변에서 같습니다: 30x = 45(760 - x).
"쪽당 초" 단위를 추적하면 "쪽" 끼리 약분되고 양변에 "초" 만 남아 식이 자연스럽게 세워집니다.
6.RP.A.3Analyze The Units비로 바꿔 읽기
찬드라가 더 빠르니 쪽수는 속도의 역수 비 3:2 로 뒤집힙니다.
속도가 다른 두 사람이 같은 시간을 쓰면 빠른 쪽이 더 많이 읽는다는 직관 그대로 — 속도 비 45:30이 쪽수 비 3:2로 뒤집힙니다.
찬드라와 밥이 같은 시간 동안 읽으므로 두 사람이 읽는 쪽수는 3 대 2의 비가 된다 — 이는 한 쪽당 30초, 45초라는 속도의 역비이다.
▸ 왜?
읽는 시간이 같다는 것은 두 사람의 총 초가 같은 수라는 뜻이고, 각 총 초는 한 쪽당 초를 읽은 쪽수만큼 곱한 값이므로, 30 곱하기 찬드라의 쪽수가 45 곱하기 밥의 쪽수와 같다.
▸ 왜?
모든 쪽을 30초 또는 45초로 읽으면 그 같은 양이 쪽마다 한 번씩 더해지므로, 총 시간은 한 쪽당 초를 쪽수만큼 센 것일 뿐이다.
▸ 왜?
두 사람의 총 시간은 각각 하나의 공통된 읽기 시간과 같으므로, 두 총 시간은 서로 같아야 한다.
▸ 왜?
30 곱하기 찬드라의 쪽수와 45 곱하기 밥의 쪽수가 같을 때, 쪽수는 속도와 반대로 맞물리므로 찬드라의 쪽수 대 밥의 쪽수는 45 대 30, 곧 3 대 2의 비가 된다.
▸ 왜?
같은 두 곱을 두 속도로 나누면 곱셈이 되돌려져 찬드라의 쪽수 대 밥의 쪽수가 45 대 30이 된다.
▸ 왜?
45 대 30을 45분의 30이라는 분수로 쓰면 분자와 분모가 모두 15로 나누어지고, 분자와 분모를 그 공통의 15로 나누면 분수의 값은 그대로인 채 3분의 2가 된다.
760을 3대 2로 나누기
760을 5 몫(각 152)으로 나누면 찬드라의 3 몫은 456 쪽입니다.
전체를 정해진 비로 나누는 것은 6학년 비율 추론입니다: 몫의 개수를 세고, 한 몫을 구하고, 곱하면 끝.
6.RP.A.3Analyze The Units같은 시간을 쓰는데 속도가 다르면 빠른 사람이 더 많이 읽어요 — "쪽당 초" 숫자가 곧 전체 쪽수를 어떤 비율로 나눌지 알려 주는 6학년 비례 문제예요.
- 미지수 이름 붙이기
- 두 사람 시간 식으로 쓰기
- 비로 바꿔 읽기
- 760을 3대 2로 나누기
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