AMC 8 · 2005 · #14

학년 5 counting

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

combinations-basicmulti-digit-arithmeticset-partition identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Little Twelve 농구 컨퍼런스에는 각각 6 팀으로 이루어진 두 디비전이 있습니다. 모든 팀은 같은 디비전의 다른 모든 팀과는 두 번씩, 다른 디비전의 모든 팀과는 한 번씩 경기를 합니다. 컨퍼런스 전체에 예정된 경기 수는 몇 개인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

100

(D)

108

(E)

192

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

전체 일정에는 규칙이 다른 두 종류의 경기가 섞여 있어요. 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 로 "디비전 내 경기 합" 과 "디비전 간 경기 합" 두 조각으로 나누면 각 조각은 간단한 곱셈 한 번으로 끝납니다. 한 디비전 안의 팀 짝의 수는 도구 #2 (빠짐없이 나열하기) 로 잡습니다 — 팀에 번호를 매기고 "자기보다 큰 번호" 와만 짝지으면 같은 짝을 두 번 세지 않으면서 15 쌍을 얻을 수 있어요. 조합 공식이나 도구 #13 (대수로 바꾸기) 없이 5학년 산수만으로 풀립니다.

1STEP 1

작은 문제 1: 한 디비전 6 팀을 자기보다 큰 번호 팀과만 짝지으면 (악수 셈) 디비전당 15 쌍이 나옵니다.

5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15 쌍 / 디비전

2STEP 2

15 쌍이 각각 두 번씩, 디비전이 둘이므로 디비전 내 경기는 모두 60 경기입니다.

디비전 내 = 15 × 2 × 2 = 60 경기

3STEP 3

작은 문제 2: A 디비전 6 팀이 B 디비전 6 팀과 한 번씩, 6 × 6 격자로 36 경기입니다.

디비전 간 = 6 × 6 = 36 경기

4STEP 4

디비전 내와 디비전 간 경기는 겹치지 않으니 더합니다: 60 + 36 = 96 경기, 정답 (B).

총 = 60 + 36 = 96 → (B)

정답

크기를 점검해 봅시다. 느슨한 상한선으로 12 팀이 서로서로 두 번씩 경기한다고 하면 12 × 11 = 132 개의 순서 있는 짝, 즉 66 개의 순서 없는 짝이 나오고, 모든 짝이 두 번씩 경기하면 최대 132 경기입니다. 우리 답은 디비전 내 60 과 한 번씩만 하는 디비전 간 36 을 더한 96 으로 그 한도 아래에 잘 들어가요. 함정 선택지는 흔한 실수에서 나옵니다 — 100 은 60 + 40 (디비전 간을 과대 계산), 108 은 72 + 36 (디비전 간도 × 2 한 실수), 192 는 96 × 2 (한 경기를 두 팀 시점에서 두 번 셈), 80 은 40 + 40 (두 번째 디비전의 디비전 내 경기를 빼먹은 경우) 입니다.

💡핵심 정리

일정을 "같은 디비전" 과 "다른 디비전" 두 조각으로 쪼개고, 각각 짧은 곱셈으로 세어 더하세요. 이 한 번의 쪼개기로 AMC 8 문제는 5학년 다단계 산수 문제가 됩니다.

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