AMC 8 · 2005 · #6

학년 5 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

place-valuedigit-constraintsinterval-arithmeticsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: place-value

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

d 는 한 자리 숫자입니다(0,1,2,…,9 중 하나). 이 중 몇 개의 d 에 대해 2.00d5 ＞ 2.005 가 성립할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 꼼꼼히 세기

"몇 개의 값" 을 묻고 있으므로 조건을 통과하는 숫자를 세는 문제입니다(도구 #13). 조건 자체는 소수 비교 2.00d5 ＞ 2.005 이고, 이를 깔끔하게 처리하기 위해 천분의 자리에서 d 와 5 의 대소 관계에 따라 10 개의 숫자를 세 경우로 나눕니다(도구 #7). d=5 일 때는 만분의 자리까지 한 번 더 봐야 하므로 이를 별도 경우로 떼어 두면 논리가 흔들리지 않습니다.

1STEP 1

자릿값을 맞춰 2.005 를 2.0050 으로 바꾸면 2.00d5 와 똑같이 소수 네 자리가 됩니다.

2.00d5 대 2.0050

2STEP 2

일·십분·백분의 자리가 모두 같으니, 전체 비교는 천분의 자리에서 결판납니다.

일 = 일, 십분 = 십분, 백분 = 백분 → 천분의 자리에서 결판

3STEP 3

경우 A, d ＞ 5: 2.00d5 가 천분의 자리에서 이미 이기므로 d = 6, 7, 8, 9 가 모두 통과 — 네 개입니다.

d ∈ {6,7,8,9} → 2.00d5 ＞ 2.0050 ✓

4STEP 4

경우 B, d ＜ 5: 2.00d5 가 천분의 자리에서 지므로 d = 0, 1, 2, 3, 4 는 모두 실패합니다.

d ∈ {0,1,2,3,4} → 2.00d5 ＜ 2.0050 ×

5STEP 5

경우 C, d = 5: 천분의 자리가 비기니 만분의 자리에서 2.0055 가 2.0050 을 이겨 d = 5 도 셉니다.

d = 5 → 2.0055 ＞ 2.0050 ✓

6STEP 6

이기는 숫자 5, 6, 7, 8, 9 를 모으면 다섯 개, 그래서 답은 (C) 입니다.

|{5, 6, 7, 8, 9}| = 5 → (C)

정답

경계값 d = 5 로 확인: 2.0055 대 2.005 = 2.0050. 만분의 자리에서 5 ＞ 0 이므로 분명히 2.0055 가 크고, d = 5 가 포함되는 것이 맞습니다. d = 4 도 확인: 2.0045 대 2.0050. 천분의 자리에서 4 ＜ 5 이므로 2.0045 ＜ 2.0050 — 제외되는 것이 맞습니다. 조건을 만족하는 집합 {5,6,7,8,9} 은 원소가 5 개이므로 답 (C) 와 일치합니다. 직관적으로도 10 개 숫자 중 절반 정도가 기준보다 크리라 예상되니 5 라는 답이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

소수를 자리에 맞춰 세우고 처음 달라지는 자리에서 큰 쪽을 찾는다 — 그 순간 어려워 보이던 부등식이 5학년 자리 비교 한 문제로 줄어듭니다.

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