AMC 8 · 2005 · #8

학년 6 arithmetic

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parityformula-substitutionsystematic-enumeration systematic-enumerationguess-and-check ↑ 선수 지식: parity

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

m 과 n 이 양의 홀수일 때, 다섯 식 m+3n, 3m-n, 3m²+3n², (nm+3)², 3mn 중 반드시 홀수가 되는 것은 어떤 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

m+3n

(B)

3m-n

(C)

$3m^2 + 3n^2$

(D)

$(nm + 3)^2$

(E)

3mn

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 홀짝/나머지 따지기

m 과 n 의 구체적인 값은 주어지지 않고, 오직 "양의 홀수" 라는 정보만 있어요. 이런 상황에 딱 맞는 것이 도구 #12 (홀짝/나머지 따지기) 입니다 — 짧은 두 가지 규칙 (홀수 ± 홀수 = 짝수, 홀수 × 홀수 = 홀수) 으로 각 식의 홀짝만 추적하면 되고 수의 크기는 무시할 수 있어요. 그렇게 다섯 선택지의 홀짝이 정해지면, 도구 #3 (가능성 지우기) 으로 짝수가 되는 선택지를 모두 지웁니다. 살아남는 한 개가 답입니다.

1STEP 1

규칙 두 개면 끝: 홀수 ± 홀수 = 짝수, 홀수 × 홀수 = 홀수. m, n 홀수라 3m, 3n 도 홀수.

홀수 ± 홀수 = 짝수, 홀수 × 홀수 = 홀수

2STEP 2

(A) m + 3n 은 홀수 + 홀수라 항상 짝수 — 지웁니다.

m + 3n = 홀수 + 홀수 = 짝수

3STEP 3

(B) 3m - n 은 홀수 - 홀수라 짝수 — 지웁니다.

3m - n = 홀수 - 홀수 = 짝수

4STEP 4

3m² + 3n² = 홀수 + 홀수 = 짝수

5STEP 5

(D) (nm + 3)²: 안은 홀수 + 홀수 = 짝수, 짝수의 제곱도 짝수 — 지웁니다.

(nm + 3)² = (홀수 + 홀수)² = (짝수)² = 짝수

6STEP 6

(E) 3mn 은 홀수 × 홀수 × 홀수 = 홀수 — 반드시 홀수인 식은 이것뿐.

3mn = 홀수 × 홀수 × 홀수 = 홀수 → (E)

정답

3mn

가장 간단한 경우 m = n = 1 로 확인해 봅시다. (A) 1 + 3 = 4 짝수, (B) 3 - 1 = 2 짝수, (C) 3 + 3 = 6 짝수, (D) (1 + 3)² = 16 짝수, (E) 3 · 1 · 1 = 3 홀수. m = 3, n = 5 도 해보면 (E) 3 · 3 · 5 = 45 역시 홀수입니다. 우리가 세운 홀짝 논증이 정확히 예측한 그대로예요 — (E) 만 홀수, 나머지 네 개는 "홀수 ± 홀수" 또는 "짝수의 제곱" 형태라 반드시 짝수.

💡핵심 정리

입력의 홀짝만 주어진 문제에서는 실제 숫자를 잊고 "홀수" / "짝수" 만 따라가세요. 단 두 가지 규칙 (홀수 ± 홀수 = 짝수, 홀수 × 홀수 = 홀수) 으로 이 AMC 8 문제의 다섯 선택지를 한꺼번에 정리할 수 있어요.

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